Exemples de preguntes sobre cercles i tangents
Els cercles són un tema important en la geometria matricial, on es demostren conceptes profunds sobre distància, angles i forma. Un concepte que es tracta amb freqüència en aquest tema és la recta tangent a un cercle. En aquest article, parlarem de diversos exemples de problemes que impliquen cercles i tangents.
Coneixements bàsics de cercles i tangents
Lingkaran
Un cercle és una forma geomètrica formada pel conjunt de tots els punts d'un pla que es troben a una distància fixa d'un punt donat anomenat centre del cercle. Aquesta distància fixa s'anomena radi del cercle.
Tangent
Una tangent a una circumferència és una recta que toca la circumferència en exactament un punt. Aquest punt s'anomena punt de tangència. Les tangents tenen diverses propietats importants, com ara:
– La recta tangent és sempre perpendicular al radi de la circumferència en el punt de tangència.
– La longitud d'una tangent des d'un punt exterior a la circumferència fins a la circumferència és la mateixa si es tracen dues tangents des d'aquest punt.
Exemples de preguntes i debats
A continuació presentarem diversos exemples de preguntes que tracten en detall el concepte de circumferències i tangents.
Exemple de pregunta 1: Trobar la longitud de la recta tangent
Pregunta:
Donat un cercle amb centre \(O\) i radi \(r = 6 \, \text{cm}\). Des del punt \(P\) exterior al cercle, que es troba a 10 cm del centre del cercle, es tracen dues tangents \(PA\) i \(PB\) al cercle. Calcula la longitud de la tangent \(PA\).
Discussió:
En aquest problema, podem utilitzar el teorema de Pitàgores. Dibuixa un triangle \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (distància des del punt exterior fins al centre del cercle)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (radi del cercle)
– \(PA\) és la recta tangent que s'ha de trobar
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Per tant, la longitud de la recta tangent \(PA\) és de 8 cm.
Exemple de pregunta 2: Trobar el punt de tangència
Pregunta:
Donat un cercle amb l'equació \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) i una recta \(y = 2x + 1\). Determina el punt de tangència entre el cercle i la recta.
Discussió:
Primer, identifiquem el centre i el radi del cercle:
– Centre \(O(3, 4)\)
– Radi r = 25 = 5
Per trobar el punt de tangència, suposem que el punt de tangència és \(T(x_1, y_1)\) que també es troba a la recta \(y = 2x + 1\). Aleshores:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) també ha de satisfer l'equació del cercle:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Substituïm \(y_1 = 2x_1 + 1\) a l'equació del cercle:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Hem de calcular dos quadrats.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Combina els dos resultats:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Restar 25 de tots dos costats:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Resol l'equació quadràtica:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 4\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4 \sqrt{29}
\]
Calcula el valor de \(y_1\):
Que satisfà y = 2x + 1:
– Si \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), aleshores \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Si \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), aleshores \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Avaluació:
Així obtenim dos punts d'intersecció de l'equació de la circumferència amb aquesta recta.
Exemple de pregunta 3: Determinació de l'equació d'una recta tangent
Pregunta:
Donada una circumferència amb l'equació \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Determineu l'equació de la recta tangent a la circumferència que passa pel punt \((6, 7)\).
Discussió:
La tangent a una circumferència amb centre \((h, k)\) i radi \(r\) des d'un punt extern conegut es pot trobar mitjançant l'equació:
La recta tangent passa pel punt extern \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Substituïu el punt exterior \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
L'equació de la recta tangent és:
\[
x + y = 9
\]
Així doncs, la variació de l'equació de la recta que passa pel punt de la recta circular és molt gran i pot canviar segons el resultat o la representació visual.
Conclusió
La discussió sobre circumferències i tangents cobreix diversos aspectes fonamentals de les matemàtiques, des de l'aplicació de fórmules bàsiques com el teorema de Pitàgores fins a la resolució d'equacions quadràtiques. A través d'aquests exemples, podem desenvolupar una millor comprensió de com aplicar aquests conceptes en situacions una mica complexes. Esperem que aquest article hagi ajudat a proporcionar una imatge clara de com abordar i resoldre problemes que impliquen circumferències i tangents.
