Exemple d'una pregunta de debat sobre el coeficient de determinació
El coeficient de determinació (R²) és un paràmetre important en l'anàlisi de regressió, que indica com de bé explica un model de regressió la variabilitat real de les dades. En aquest article, explicarem el concepte del coeficient de determinació mitjançant un exemple detallat i una discussió.
Concepte bàsic de coeficient de determinació
El coeficient de determinació o \(R^2\) es mesura en una escala de 0 a 1, on:
– \(R^2 = 0 \) indica que el model de regressió no és capaç d'explicar la variabilitat de les dades en absolut.
– \(R^2 = 1 \) mostra que el model de regressió és capaç d'explicar perfectament tota la variabilitat de les dades.
La fórmula bàsica per calcular el coeficient de determinació és:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
On:
– SSR (Suma de Residus al Quadrat) és la suma dels quadrats de les diferències entre els valors predits pel model i els valors reals.
– SST (Suma Total de Quadrats) és el total de la suma dels quadrats de les diferències entre el valor real i la mitjana dels valors reals.
Exemple de problemes
Analitzem un problema d'exemple per entendre el càlcul del coeficient de determinació amb més profunditat.
Exemple de problemes:
Suposem que tenim dades sobre el nombre d'hores d'estudi (X) i les puntuacions dels exàmens (Y) de 10 estudiants:
| Estudiants | Hores d'estudi (X) | Puntuació de l'examen (Y) |
|——-|———————–|———————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Crearem un model de regressió lineal simple on les puntuacions dels exàmens (Y) es prediuen en funció de les hores d'estudi (X).
Discussió
1. Construint un model de regressió lineal simple
Un model de regressió lineal simple té la forma:
\[ Y = a + bX \]
On:
– \(Y \) és la puntuació prevista de la prova.
– \(X \) és el nombre d'hores d'estudi.
– \(a \) és la intersecció (el punt d'intersecció a l'eix Y quan X = 0).
– \(b \) és el pendent (inclinació de la recta de regressió).
Per calcular els paràmetres \(a\) i \(b\), fem servir la fórmula següent:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
On \(n\) és el nombre de dades (en aquest cas n = 10).
A partir de la taula podem calcular:
– (\suma{X} = 36\)
– (\sum{Y} = 704)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– (\suma{XY} = 2576)
Calculem primer b:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Aleshores, calculem: a
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Així doncs, el model de regressió lineal que obtenim és:
\[ Y = 56 + 4X \]
2. Calcula el valor predit (Y')
A continuació, calculem el valor predit \(Y'\) per a cada \(X\):
| Estudiants | Hores d'estudi (X) | Puntuació de l'examen (Y) | Puntuació prevista (Y') |
|——-|———————–|———————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | (56 + 4(2) = 64) |
| 2 | 3 | 64 | (56 + 4(3) = 68) |
| 3 | 4 | 70 | (56 + 4(4) = 72) |
| 4 | 5 | 85 | (56 + 4(5) = 76) |
| 5 | 2 | 57 | (56 + 4(2) = 64) |
| 6 | 3 | 68 | (56 + 4(3) = 68) |
| 7 | 4 | 72 | (56 + 4(4) = 72) |
| 8 | 5 | 90 | (56 + 4(5) = 76) |
| 9 | 3 | 62 | (56 + 4(3) = 68) |
| 10 | 4 | 78 | (56 + 4(4) = 72) |
3. Càlcul de SSR i SST
A continuació, calculem SSR i SST per obtenir \(R^2\).
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
On:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ Pressió de la superfície de treball = 1107.44 \]
4. Càlcul del coeficient de determinació \(R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41\]
\[R^2 = 0.59\]
Conclusió
Del càlcul anterior, hem obtingut un coeficient de determinació (R2 = 0.59). Això indica que el model de regressió lineal que hem creat pot explicar aproximadament el 59% de la variabilitat en les puntuacions dels exàmens en funció de les hores d'estudi. El 41% restant de la variabilitat podria ser degut a altres factors no inclosos en el model.
En comprendre els passos i càlculs anteriors, podem veure la importància del coeficient de determinació a l'hora d'avaluar com el model de regressió que construïm explica la variabilitat real de les dades. És una eina molt útil en l'anàlisi estadística i la modelització de dades.
