Exemples de preguntes sobre funcions quadràtiques
Les funcions quadràtiques són un tema important que es tracta en matemàtiques, especialment en matemàtiques de secundària. Aquesta funció té la forma general \( f(x) = ax^2 + bx + c \), on \(a\), \(b\) i \(c\) són constants amb \(a \neq 0\). Aquest article tractarà diversos exemples de problemes relacionats amb les funcions quadràtiques juntament amb explicacions detallades per ajudar els estudiants a comprendre millor aquest concepte.
1. Determinació de les arrels d'una funció quadràtica
Pregunta 1: Troba les arrels de la següent funció quadràtica:
\[ f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \]
Discussió:
Per trobar les arrels d'una funció quadràtica, podem utilitzar la fórmula quadràtica, és a dir:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
En la funció quadràtica \(f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \), podem identificar els valors de \(a\), \(b\) i \(c\):
– (a = 2)
– (b = -3)
– (c = -5)
Els passos són els següents:
1. Trobeu el discriminant (\( \Delta \)):
\[ Δ = b^2 – 4ac \]
\[ Δ = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ Δ = 9 + 40 \]
\[ Δ = 49 \]
2. Utilitza la fórmula quadràtica per trobar les arrels:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]
Així doncs, obtenim dues solucions:
\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
Així doncs, les arrels de la funció són \(x = 2.5\) i \(x = -1\).
2. Determinació dels vèrtexs d'una funció quadràtica
Pregunta 2: Determina el vèrtex de la següent funció quadràtica:
\[ g(x) = -x^2 + 4x – 3 \]
Discussió:
El vèrtex d'una funció quadràtica es pot determinar mitjançant la fórmula:
\[ x_{\text{vèrtex}} = \frac{-b}{2a} \]
En la funció quadràtica (g(x) = -x^2 + 4x – 3), podem identificar els valors de (a), (b) i (c):
– (a = -1)
– (b = 4)
– (c = -3)
Els passos són els següents:
1. Troba el valor \(x\) del vèrtex:
\[ x_{\text{vèrtex}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{vèrtex}} = \frac{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\text{vèrtex}} = \frac{-4}{-2} \]
\[ x_{\text{vèrtex}} = 2 \]
2. Trobeu el valor de \(y\) substituint \(x_{\text{vertex}}\) a la funció:
\[ y_{\text{vèrtex}} = g(2) \]
\[ y_{\text{vèrtex}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\text{vèrtex}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\text{vèrtex}} = 1 \]
Així doncs, el vèrtex de la funció és \((2, 1) \).
3. Dibuix d'un gràfic de funció quadràtica
Pregunta 3: Dibuixa el gràfic de la següent funció quadràtica:
h(x) = x^2 – 2x – 3
Discussió:
Abans de dibuixar el gràfic d'una funció quadràtica, cal conèixer diversos punts importants, com ara les arrels, el vèrtex i la direcció de la paràbola.
Determinació de les arrels
Podem utilitzar la fórmula quadràtica per trobar les arrels de \( h(x) = x^2 – 2x – 3 \):
\[ a = 1 \]
\[ b = -2 \]
\[ c = -3 \]
1. Calcula el discriminant:
\[ Δ = b^2 – 4ac \]
\[ Δ = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ Δ = 4 + 12 \]
\[ Δ = 16 \]
2. Calcula les arrels:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Així doncs, obtenim dues solucions:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Determinació del punt màxim
3. Utilitza la fórmula del vèrtex:
\[ x_{\text{vèrtex}} = \frac{-b}{2a} \]
\[ x_{\text{vèrtex}} = \frac{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\text{vèrtex}} = 1 \]
4. Calcula el valor de \(y \):
\[ y_{\text{vèrtex}} = h(1) \]
\[ y_{\text{vèrtex}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\text{vèrtex}} = 1 – 2 – 3 \]
\[ y_{\text{vèrtex}} = -4 \]
Així doncs, el vèrtex és \( (1, -4) \).
Dibuix de gràfics
– Les arrels són a \(x = 3\) i \(x = -1\).
– El vèrtex és a \( (1, -4) \).
– Com que \( a > 0 \), la paràbola s'obre cap amunt.
Representa aquests punts importants en un gràfic i dibuixa una paràbola que hi passi.
Si entenem les arrels, el vèrtex i la direcció de la paràbola, podem dibuixar un gràfic més perfecte d'una funció quadràtica.
Conclusió
La funció quadràtica és un concepte fonamental en matemàtiques amb aplicacions àmplies. Comprendre les funcions quadràtiques ens ajuda a aprofundir en la nostra comprensió d'altres conceptes en matemàtiques i ciències aplicades. Practicant amb exemples i comprenent els passos per resoldre'ls, s'espera que la nostra comprensió de les funcions quadràtiques s'aprofundeixi i esdevingui més aplicable.
