Exemples de preguntes i discussió de la funció de distribució normal
La distribució normal, també coneguda com a distribució gaussiana, és una de les distribucions de probabilitat més fonamentals en estadística i anàlisi de dades. Aquesta distribució es caracteritza per una corba de campana simètrica al voltant de la mitjana, amb la dispersió de dades reflectint la desviació estàndard dels valors que l'envolten. La distribució normal és la base de molts conceptes en estadística inferencial i s'utilitza àmpliament en diversos camps, com ara l'economia, la psicologia i les ciències socials.
En aquest article, tractarem alguns exemples de problemes i les seves solucions per entendre millor la funció de distribució normal.
Conceptes bàsics de la distribució normal
La distribució normal es descriu mitjançant dos paràmetres principals:
1. Mitjana (μ): La mitjana del conjunt de dades.
2. Desviació estàndard (σ): Mesura com de disperses estan les dades al voltant de la mitjana.
La funció de densitat de probabilitat de la distribució normal és:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Aquests són alguns passos bàsics per resoldre problemes utilitzant la distribució normal:
1. Determinació del valor Z: El valor Z és una mesura de la distància que hi ha entre les dades i la mitjana en unitats de desviació estàndard i es calcula mitjançant la fórmula:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. Ús de la taula Z: La taula Z o taula de distribució normal estàndard s'utilitza per trobar la probabilitat o el percentatge de dades que estan per sota o per sobre d'un cert valor Z.
Exemples de preguntes i discussió sobre la distribució normal
Pregunta 1
Una classe té una puntuació mitjana de 70 en un examen de matemàtiques amb una desviació estàndard de 10. Si les puntuacions dels exàmens tenen una distribució normal, quin percentatge d'estudiants van obtenir una puntuació superior a 85?
Discussió:
1. Determinació de la puntuació Z: Primer, calculeu la puntuació Z per a X = 85.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. Observant la taula Z: Busquem el valor de probabilitat per a Z = 1.5 a la taula Z. El valor de probabilitat per a Z = 1.5 és 0.9332. Això significa que el 93.32% dels valors estan per sota de Z = 1.5.
3. Càlcul del percentatge: Com que necessitem el percentatge d'estudiants que van obtenir una puntuació superior a 85, calculem 1 – 0.9332 = 0.0668.
Així doncs, el 6.68% dels estudiants van obtenir una puntuació superior a 85.
Pregunta 2
L'alçada dels homes adults d'un país segueix una distribució normal amb una mitjana de 175 cm i una desviació estàndard de 6 cm. Determina el percentatge d'homes l'alçada dels quals està entre 170 cm i 180 cm.
Discussió:
1. Determineu la puntuació Z per a 170 cm:
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \aprox -0.83 \]
2. Determineu la puntuació Z per a 180 cm:
\[Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \aprox. 0.83 \]
3. Veure la taula Z:
– La probabilitat que Z = -0.83 és de 0.2033.
– La probabilitat que Z = 0.83 és de 0.7967.
4. Càlcul del percentatge:
– La probabilitat d'una alçada entre 170 cm i 180 cm és de 0.7967 – 0.2033 = 0.5934.
– Així doncs, el 59.34% dels homes tenen una alçada entre 170 cm i 180 cm.
Pregunta 3
Un test de coeficient intel·lectual utilitza una distribució normal amb una mitjana de 100 i una desviació estàndard de 15. Quina puntuació es troba dins del percentil 85?
Discussió:
1. Trobar el valor Z per al percentil 85: A partir de la taula Z o mitjançant una calculadora, el percentil 85 correspon a Z = 1.04.
2. Càlcul de la puntuació del coeficient intel·lectual:
\[ X = Z σ + μ \]
[X = 1.04 × 15 + 100]
\[ X = 15.6 + 100 \]
\[ X = 115.6 \]
Així doncs, un coeficient intel·lectual que es troba dins del percentil 85 és d'uns 115.6.
Pregunta 4
Si se sap que la puntuació mitjana dels resultats de les proves cognitives dels estudiants de secundària és de 65 amb una desviació estàndard de 12, quina puntuació es troba al percentil 25?
Discussió:
1. Trobar el valor Z per al percentil 25: A partir de la taula Z o utilitzant una calculadora, la Z per al percentil 25 és aproximadament de -0.674.
2. Càlcul de les puntuacions de les proves:
\[ X = Z σ + μ \]
[X = -0.674 × 12 + 65]
\[ X = -8.088 + 65 \]
\[ X \aprox. 56.912 \]
Així doncs, el valor que es troba al percentil 25 és al voltant de 56.912.
Conclusió
La distribució normal és un concepte vital en estadística que ens permet analitzar i comprendre dades des d'una perspectiva probabilística. Mitjançant l'enfocament de la distribució normal, podem calcular percentatges, determinar valors específics basats en percentils i comparar dades amb la mitjana.
Resoldre problemes amb la distribució normal no només és útil per a exàmens i recerca acadèmica, sinó que també té aplicacions pràctiques en molts camps de la vida real, com ara la psicologia, els negocis i les ciències socials. A través dels exemples i les discussions anteriors, esperem que obtingueu una millor comprensió de la funció de distribució normal i de com aplicar-la en diversos contextos.
