Exemple d'una pregunta de debat sobre la distribució normal
La distribució normal, també coneguda com a distribució gaussiana, és la distribució de probabilitat més utilitzada en estadística. Aquesta distribució té una forma de campana simètrica, cosa que indica que les dades estan disposades al voltant de la mitjana i la probabilitat d'extrems (valors allunyats de la mitjana) és baixa.
En aquest article, parlarem de diversos exemples de problemes relacionats amb la distribució normal i de com resoldre'ls. Començarem introduint alguns conceptes bàsics i després passarem a exemples més complexos.
Fonaments de la distribució normal
La distribució normal és una distribució contínua amb dos paràmetres: la mitjana i la desviació estàndard (SD). La mitjana determina el centre de la distribució, mentre que la desviació estàndard determina l'amplada de la distribució.
Característiques importants de la distribució normal:
1. Simetria: La distribució normal és simètrica respecte a la mitjana.
2. Regla empírica (Regla empírica):
– Aproximadament el 68% de les dades es troben dins d'una desviació estàndard de la mitjana.
– Aproximadament el 95% de les dades es troben dins de dues desviacions estàndard de la mitjana.
– Aproximadament el 99.7% de les dades es troben dins de tres desviacions estàndard de la mitjana.
Exemples de preguntes i debat
Exemple de pregunta 1: Càlcul de la puntuació Z
Pregunta: Un examen té una puntuació mitjana de 70 amb una desviació estàndard de 10. Un estudiant obté una puntuació de 80. Quina és la puntuació Z de l'estudiant?
Solució:
La puntuació Z és una mesura de quantes desviacions estàndard es troba un valor respecte a la mitjana.
Fórmula de la puntuació Z:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
On:
– \(X \) és el valor observat.
– \( \mu \) és la mitjana.
– \( \sigma \) és la desviació estàndard.
Se sap:
– (X = 80)
– (µ = 70)
– (sigma = 10)
Aplicació de la fórmula:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Així doncs, la puntuació Z de l'estudiant és d'1, cosa que significa que una puntuació de 80 és una desviació estàndard per sobre de la mitjana.
Exemple de pregunta 2: Probabilitat d'un cert valor
Pregunta: En una distribució normal amb una mitjana de 100 i una desviació estàndard de 15, quina és la probabilitat de trobar un valor inferior a 85?
Solució:
Els passos:
1. Calcula la puntuació Z per al valor \(X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Utilitzeu una taula Z o una calculadora estadística per trobar la probabilitat corresponent a una puntuació Z de -1. En una taula Z, la probabilitat d'una puntuació Z de -1 és aproximadament de 0.1587.
Per tant, la probabilitat de trobar un valor inferior a 85 és del 0.1587 o del 15.87%.
Exemple de pregunta 3: Ús de regles empíriques
Pregunta: Se sap que la distribució de les puntuacions dels exàmens de matemàtiques a les escoles segueix una distribució normal amb una mitjana de 75 i una desviació estàndard de 8. Quina proporció d'estudiants van obtenir puntuacions entre 67 i 83?
Solució:
Langkah-langkah:
1. Calcula la puntuació Z per als valors 67 i 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Segons les regles empíriques, els valors entre -1 SD i +1 SD de la mitjana cobreixen aproximadament el 68% de la població.
Així doncs, la proporció d'estudiants que van obtenir puntuacions entre 67 i 83 va ser d'aproximadament el 68%.
Exemple de pregunta 4: Càlcul de valors a partir de percentils
Pregunta: Si l'alçada mitjana dels homes adults d'un país és de 175 cm amb una desviació estàndard de 7 cm, quina alçada es troba al percentil 90?
Solució:
Langkah-langkah:
1. Trobeu la puntuació Z corresponent al percentil 90. Segons la taula Z, la puntuació Z més propera a 0.9000 és aproximadament 1.28.
2. Utilitza la fórmula per calcular el valor de \( X \):
[X = μ + Z × σ]
[X = 175 + 1.28 × 7]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
Així doncs, l'alçada al percentil 90 és d'uns 183.96 cm.
Exemple de pregunta 5: Probabilitat d'un cert interval
Pregunta: Donat que la distribució del pes dels nounats segueix una distribució normal amb una mitjana de 3.5 kg i una desviació estàndard de 0.5 kg, quina és la probabilitat que un nadó pesi entre 3 kg i 4 kg?
Solució:
Langkah-langkah:
1. Calcula la puntuació Z per als valors de 3 kg i 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. La probabilitat d'una puntuació Z entre -1 i 1 segons la taula Z és aproximadament del 0.6826 o del 68.26%.
Així doncs, la probabilitat que un nadó pesi entre 3 kg i 4 kg és d'aproximadament un 68.26%.
Conclusió
La distribució normal és un concepte fonamental en estadística que és crucial i té moltes aplicacions al món real. En aquest article, hem explicat els conceptes bàsics de la distribució normal i hem resolt diversos exemples per aprofundir en la nostra comprensió.
Comprendre la distribució normal no només és important per a l'estadística, sinó també per a diversos camps pràctics com la psicologia, l'economia i altres ciències socials. Amb prou pràctica, resoldre problemes de distribució normal pot ser més intuïtiu i ajudar en la presa de decisions basada en dades.
