Exemples de preguntes sobre seqüències i sèries
Les seqüències i les sèries són conceptes fonamentals de les matemàtiques, que es troben amb freqüència des de l'escola primària fins a la universitat. Una seqüència és un conjunt de nombres ordenats segons una regla específica, mentre que una sèrie és la suma dels termes d'aquesta seqüència. En aquest article, tractarem diversos problemes d'exemple i parlarem de seqüències i sèries.
Exemple 1: Seqüència aritmètica
Pregunta:
Donada una seqüència aritmètica amb el primer terme (a) = 3 i la diferència (d) = 5. Determineu:
1. El 10è terme de la seqüència.
2. La suma dels primers 20 termes de la seqüència.
Discussió:
1. 10è trimestre
La fórmula del terme n d'una seqüència aritmètica és:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Per al 10è terme (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) ∫5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Suma dels primers 20 termes
La fórmula per a la suma dels primers n termes (S_n) d'una seqüència aritmètica és:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Per la suma dels primers 20 termes (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Exemple 2: Sèrie geomètrica
Pregunta:
Donada una seqüència geomètrica amb el primer terme (a) = 4 i la raó (r) = 2. Determineu:
1. El 6è terme de la seqüència.
2. La suma dels primers 8 termes de la seqüència.
Discussió:
1. 6è trimestre
La fórmula del terme n-èsim d'una seqüència geomètrica és:
\[
U_n = a ∫r^{(n-1)}
\]
Per al 6è terme (U_6):
\[
U_{6} = 4 ∫2^{(6-1)} = 4 ∫2^5 = 4 ∫32 = 128
\]
2. Suma dels primers 8 termes
La fórmula per a la suma dels primers n termes (S_n) d'una seqüència geomètrica és:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Per la suma dels primers 8 termes (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Exemple 3: Sèries infinites geomètriques convergents
Pregunta:
Donada una sèrie geomètrica amb el primer terme (a) = 1 i la raó (r) = 1/2. Determina la suma de la sèrie infinita.
Discussió:
La fórmula per a la suma d'una sèrie infinita (S_∞) d'una sèrie geomètrica convergent és:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Així doncs, per a aquesta sèrie:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Exemple 4: Seqüències i sèries de nombres quadrats
Pregunta:
Donada una seqüència de nombres quadrats amb el primer terme (U_1) = 1, el segon terme (U_2) = 4 i el tercer terme (U_3) = 9. Determineu el 5è terme de la seqüència. Aquesta seqüència és una seqüència aritmètica o geomètrica? Expliqueu-ho.
Discussió:
1. 5è trimestre
El patró d'una seqüència de nombres quadrats és:
\[
U_n = n^2
\]
Per al 5è terme (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Tipus de línia
Per comprovar si aquesta seqüència és aritmètica o geomètrica, comproveu la diferència entre els termes (la diferència comuna) i la raó entre els termes:
– Diferència entre termes (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Com que la diferència no és constant, aquesta seqüència no és aritmètica.
– Ràtio intertribus (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Com que la raó entre termes no és constant, aquesta seqüència no és geomètrica.
Així doncs, aquesta seqüència de nombres quadrats no és ni una seqüència aritmètica ni geomètrica, sinó una seqüència especial que segueix el patró dels nombres quadrats.
Exemple 5: Sèries aritmètiques infinites
Pregunta:
És possible calcular la suma d'una sèrie aritmètica infinita? Si és així, doneu un exemple. Si no, expliqueu per què.
Discussió:
A diferència de les sèries geomètriques, les sèries aritmètiques infinites normalment no tenen una suma finita. Això és degut a que cada terme augmenta o disminueix linealment, de manera que la suma continua creixent indefinidament.
Per exemple, considerem una sèrie aritmètica infinita amb primer terme 1 i diferència comuna 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Si intentem sumar-les, queda clar que la sèrie no convergirà a un valor fix, sinó que s'acostarà a l'infinit. Per tant, la suma d'una sèrie aritmètica infinita és, en general, infinita i no es pot calcular com una sèrie geomètrica convergent.
-
En aquest article, hem tractat diversos problemes d'exemple i hem parlat de seqüències i sèries. Hem revisat seqüències aritmètiques i geomètriques, hem vist com calcular el terme n i la suma dels seus primers termes i hem respost preguntes sobre sèries infinites. En comprendre aquests conceptes i exemples bàsics, esperem que us sentiu més segurs a l'hora d'abordar seqüències i sèries en matemàtiques.
