Exemples de preguntes i discussió de la regla de la cadena en derivades
La regla de la cadena és un dels conceptes més fonamentals del càlcul diferencial, que s'utilitza per calcular la derivada d'una funció composta per dues o més funcions. En aquest article, parlarem del concepte bàsic de la regla de la cadena, de com utilitzar-la i d'exemples del seu ús en problemes de derivades que sorgeixen amb freqüència tant a l'institut com a la universitat.
1. Introducció a la regla de la cadena
Abans d'entrar en el problema d'exemple, primer entenem què és la regla de la cadena. La regla de la cadena estableix que si tenim dues funcions diferenciables \(f\) i \(g\), i volem trobar la derivada de la composició de les funcions \(h = f(g(x))\), aleshores la derivada de \(h\) és:
h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
En termes senzills, calculem la derivada de la funció externa sobre g(x) i després multipliquem el resultat per la derivada de la funció interna \(g(x)\).
2. Comprensió de la funció de la composició
Abans d'entrar en els exemples de problemes, és important entendre les funcions de composició. Una funció de composició és una funció que s'obté inserint una funció dins d'una altra. Per exemple, si tenim \( f(x) = \sin(x) \) i \( g(x) = x^2 \), aleshores la composició de les dues funcions serà \( h(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \).
En les funcions de composició, sovint pensem en \( g(x) \) com la "funció interna" i \( f(x) \) com la "funció externa". En aquest exemple, la funció interna és \( x^2 \) i la funció externa és sinus.
3. Exemples de preguntes i debat
Vegem alguns exemples de problemes que utilitzen la regla de la cadena per resoldre'ls.
Exemple 1:
Donada la funció \(y = \cos(3x^2) \), trobeu la primera derivada de y respecte a x.
Discussió:
Primer, identifiquem les funcions interna i externa. Aquí, la funció interna és \( g(x) = 3x^2 \) i la funció externa és \( f(g) = \cos(g) \).
Sabem:
1. (g'(x) = 6x)
2. (f'(g) = -sin(g))
Per la regla de la cadena, obtenim:
[y' = f'(g(x))\cdot g'(x) = -sin(3x^2) \cdot 6x\cdot
Així doncs, la derivada de (y = cos(3x^2)) és:
\[y' = -6x \sin(3x^2)\]
Exemple 2:
Troba la primera derivada de \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \).
Discussió:
Aquí la funció interna és \(g(x) = 5x^3 + 2x\) i la funció externa és \(f(g) = e^g\).
Sabem:
1. (g'(x) = 15x^2 + 2)
2. (f'(g) = e^g)
Per la regla de la cadena, obtenim:
h'(x) = f'(g(x)) i g'(x) = e^{5x^3 + 2x} (15x^2 + 2)
Així doncs, la derivada de \(h(x) = e^{5x^3 + 2x} \) és:
\[ h'(x) = (15x^2 + 2)e^{5x^3 + 2x} \]
Exemple 3:
Troba la primera derivada de (y = ln(4x^2 – 5)).
Discussió:
La funció interna és \(g(x) = 4x^2 – 5\) i la funció externa és \(f(g) = \ln(g)\).
Sabem:
1. (g'(x) = 8x)
2. (f'(g) = 1/g)
Per la regla de la cadena, obtenim:
[y' = f'(g(x)) g'(x) = \frac{1}{4x^2 – 5} \cdot 8x]
Així doncs, la derivada de \(y = \ln(4x^2 – 5)\) és:
\[y' = \frac{8x}{4x^2 – 5} \]
Exemple 4:
Donada la funció \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4\), trobeu la seva derivada.
Discussió:
La funció interna és \(g(x) = 3x^2 + 2x + 1\) i la funció externa és \(f(g) = g^4\).
Sabem:
1. (g'(x) = 6x + 2)
2. (f'(g) = 4g^3)
Per la regla de la cadena, obtenim:
[y' = f'(g(x))] g'(x) = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2)]
Així doncs, la derivada de \(y = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) és:
[y' = 4(3x^2 + 2x + 1)^3 (6x + 2)]
4. Casos especials i desenvolupament de regles de cadena
De vegades, la regla de la cadena no s'atura a la composició de només dues funcions. Hi ha vegades que una funció és una composició de més de dues funcions, per exemple: \( h(x) = f(g(k(x))) \).
Per al cas de tres funcions, la regla de la cadena es pot aplicar en capes:
h'(x) = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) \]
Podem veure que a cada capa calculem les derivades de les capes externes abans de passar a les derivades de les capes internes.
Exemple 5:
Donat \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \), trobeu la seva derivada.
Discussió:
La funció més interna és \(k = 2x^2 + 1\), la central: \(g = \ln(k)\) i la més externa: \(f = \sqrt{g}\).
Sabem:
1. (k'(x) = 4x)
2. (g'(k) = \frac{1}{k})
3. (f'(g) = 1/2 g)
Apliquem la regla de la cadena en capes:
\[ y' = f'(g(k(x))) \cdot g'(k(x)) \cdot k'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{2x^2 + 1} \cdot 4x \]
Així doncs, la derivada de \(y = \sqrt{\ln(2x^2 + 1)} \) és:
\[ y' = \frac{4x}{2(2x^2 + 1)\sqrt{\ln(2x^2 + 1)}} \]
5. Kesimpulan
La regla de la cadena juga un paper vital en el càlcul diferencial, especialment quan es tracta de la composició de funcions. Comprendre i dominar la regla de la cadena proporciona una base sòlida per abordar problemes més complexos de càlcul. Aquest article ha tractat diversos exemples importants per proporcionar una comprensió sòlida de l'aplicació de la regla de la cadena a les derivades. Esperem que aquesta discussió sigui útil per als estudiants i es pugui aplicar a una varietat de situacions matemàtiques difícils.
