একক ভেক্টর – সমস্যা ও সমাধান

একক ভেক্টর – সমস্যা ও সমাধান

একটি বস্তু v = (2i − 1.5j) m/s বেগে গতিশীল। ৪ সেকেন্ড পর বস্তুটির সরণ কত হবে ?

জ্ঞাত :

বেগের অনুভূমিক উপাংশ (v _x ) = 2 মি/সে

বেগের উল্লম্ব উপাংশ (v _y ) = ১.৫ মি/সে

সময় ব্যবধান (t) = ২ সেকেন্ড

আবশ্যক: বাস্তুচ্যুতি

সমাধান:

বেগের (v) লব্ধি :

স্থানচ্যুতি:

s = vt = (2.5 মি/সে)(4 সে)

s = ১৫০ মিটার

২. ভেক্টর F₁ = ১৪ নিউটন এবং F₂ _{= ১০ নিউটন ।} লব্ধি ভেক্টরটি R = i + j আকারে প্রকাশ করে নির্ণয় করুন।

সমাধান:

ভেক্টরের উপাদানসমূহ:

F _1x = (F ₁ )(cos 60 ^o ) = (14)(0.5) = -7 N (ঋণাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ঋণাত্মক x অক্ষ বরাবর (বাম দিকে) নির্দেশ করে)

F _1y = (F ₁ )(sin 60 ^o ) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক y অক্ষ বরাবর (ডানদিকে) নির্দেশ করে)

F _2x = 10 N

F _2y = 0

লব্ধি ভেক্টরগুলোর উপাদানসমূহ :

F _x = F _1x + F _2x + F _3x = -7 + 10 = 3 N

F _y = F _1y + F _2y + F _3y = 7√3 + 0 = 7√3 N

একক ভেক্টরে লব্ধি ভেক্টর :

R = 3 i + 7√3 j

1. একক ভেক্টর কাকে বলে? উত্তরএকক ভেক্টর হলো এমন একটি ভেক্টর যার মান ১। এটি সাধারণত মান সম্পর্কে কোনো তথ্য না দিয়েই দিক নির্দেশ করে।
2. ভেক্টর গণিত ও পদার্থবিজ্ঞানে একক ভেক্টর কেন গুরুত্বপূর্ণ? উত্তরএকক ভেক্টর অপরিহার্য, কারণ এগুলো দিক বর্ণনা করার একটি প্রমিত উপায় প্রদান করে। একটি নির্দিষ্ট দিকে কাঙ্ক্ষিত দৈর্ঘ্যের ভেক্টর তৈরি করার জন্য এদের মান দ্বারা স্কেল করা যায়।
3. একটি প্রদত্ত ভেক্টর থেকে কীভাবে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়? উত্তরকোনো প্রদত্ত ভেক্টরকে তার মান দ্বারা ভাগ করে সেই ভেক্টরের দিকে একটি একক ভেক্টর পাওয়া যায়।
4. কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে আদর্শ একক ভেক্টরগুলো কী এবং তাদের দিক কী? উত্তরকার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে আদর্শ একক ভেক্টরগুলি হল i, j, এবং k. i এক্স-অক্ষের দিকে নির্দেশ করে, j y-অক্ষের দিকে নির্দেশ করে, এবং k z-অক্ষের দিকে নির্দেশ করে।
5. একটি একক ভেক্টরের উপাংশ কি ১ বা -১ ছাড়া অন্য কিছু হতে পারে? উত্তরহ্যাঁ। একটি একক ভেক্টরের উপাদানগুলো তার দিকের উপর নির্ভর করে। শুধুমাত্র একক ভেক্টরগুলোই স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে সারিবদ্ধ থাকে (যেমন i, j, k কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে এর উপাদানগুলো ১, -১ বা ০ হবে।
6. দুটি একক ভেক্টরের যোগফল কি আবশ্যিকভাবেই একটি একক ভেক্টর হবে? উত্তরনা। দুটি একক ভেক্টরের যোগফল সাধারণত একটি একক ভেক্টর হয় না, যদি না ভেক্টর দুটি সমরেখ এবং বিপরীতমুখী হয়।
7. একটি একক ভেক্টরকে কি এমনভাবে স্কেল করা যায় যাতে তা ভিন্ন মান কিন্তু একই দিকবিশিষ্ট কোনো ভেক্টরকে প্রকাশ করে? উত্তরহ্যাঁ। একটি একক ভেক্টরকে স্কেলার দ্বারা গুণ করলে তার দিক একই রেখে মান পরিবর্তিত হয়।
8. দুটি একক ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্টের মান কত? উত্তরদুটি একক ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্টের মান তাদের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমান। ভেক্টর দুটি লম্ব হলে এর সর্বোচ্চ মান ১ এবং সমান্তরাল হলে সর্বনিম্ন মান ০ হয়।
9. কেন দুটি একক ভেক্টরের ডট গুণফল তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন হয়? উত্তরদুটি ভেক্টরের ডট প্রোডাক্টের সূত্রটি হলো তাদের মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুণফল। যখন উভয় ভেক্টরই একক ভেক্টর হয়, তখন তাদের মান ১ হয়, ফলে ডট প্রোডাক্টটি সরলীকৃত হয়ে শুধু কোণের কোসাইনে পরিণত হয়।

10. অ-কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একক ভেক্টরের ধারণাটি কীভাবে প্রসারিত করা হয়? উত্তর : অ-কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, যেমন গোলীয় বা বেলনাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, প্রতিটি স্থানাঙ্ক দিকের জন্য ভিন্ন ভিন্ন একক ভেক্টর থাকে। উদাহরণস্বরূপ, গোলীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, একক ভেক্টরগুলো হলো r (ব্যাসার্ধীয় দিক), θ (মেরু কোণীয় দিক), এবং φ (অ্যাজিমুথাল দিক)।