ভেক্টর সরণ – সমস্যা ও সমাধান
একজন ব্যক্তি A বিন্দু থেকে ৬০০ মিটার উত্তরে B বিন্দুতে, তারপর ৪০০ মিটার পশ্চিমে C বিন্দুতে, তারপর ২০০ মিটার দক্ষিণে D বিন্দুতে এবং সবশেষে ৭০০ মিটার পূর্বে E বিন্দুতে হেঁটে যান। তার সরণের মান কত?
সমাধান:
জ্ঞাত :
AF = AB – BF = AB – CD = 600 – 200 = 400 মি
EF = DE – DF = DE – BC = 700 – 400 = 300 মি
২. একজন ব্যক্তি প্রথমে ১০ মিটার পশ্চিমে , তারপর ১২ মিটার দক্ষিণে এবং সবশেষে ১৫ মিটার পূর্বে হাঁটেন । তার মূল বিন্দু থেকে সরণ কত?
৩. একজন ব্যক্তি প্রথমে ১ মিটার পশ্চিমে, তারপর ৩ মিটার দক্ষিণে এবং সবশেষে ৫ মিটার পূর্বে হাঁটেন। তার মূল বিন্দু থেকে সরণ কত?
৪. নিচের চিত্র অনুযায়ী বস্তুটির সরণ কত?
৫. একজন ব্যক্তি প্রথমে ৮০ মিটার উত্তরে, তারপর ৮০ মিটার পূর্বে এবং এরপর ২০ মিটার দক্ষিণে হাঁটেন। ব্যক্তিটির সরণ কত?
৬. একজন ব্যক্তি প্রথমে ৬ মিটার পূর্বে, তারপর ৬ মিটার দক্ষিণে এবং এরপর ২ মিটার পূর্বে হাঁটেন। ব্যক্তিটির সরণ কত?
৭. একটি বস্তু প্রথমে ৪০ মিটার পূর্ব দিকে, তারপর পূর্ব দিকের ৩৭ ° উত্তর দিকে ১০০ মিটার এবং সবশেষে ১০০ মিটার উত্তর দিকে চলে । বস্তুটির সরণ কত? sin ৩৭ ° = ০.৬।
জ্ঞাত :
সরণের (R) মান নির্ণয় করতে হবে।
সমাধান:
Sin 37 o = c / d
০.৬ = সি / ১০০
c = (100)(0.6)
c = ৬০ মিটার
লব্ধি ভেক্টর:
৮. একটি বস্তু প্রথমে ৪√৩ মিটার পশ্চিমে, তারপর ৪ মিটার উত্তরে এবং এরপর উত্তর দিক থেকে ৬০ ° পূর্ব দিকে ৮ মিটার চলে। এই সরণগুলোর লব্ধি কত?
জ্ঞাত :
a = a' = 4√3 মিটার
b = b' = ৪ মিটার
c = ৬০ মিটার
d = ……
নির্ণেয়: সরণের লব্ধি।
সমাধান:
sin 30 o = d / c
০.৫ = d / ৮
d = (0.5)(8)
d = ৫ মিটার
সরণের লব্ধি:
R = b' + d
R = ৪ মিটার + ৪ মিটার
R = ৮ মিটার
প্রশ্ন: ভেক্টর সরণ কী? উত্তর: ভেক্টর সরণ হলো একটি ভেক্টর রাশি যা কোনো বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন বর্ণনা করে। এর মান ও দিক উভয়ই আছে এবং এটি যে পথই অনুসরণ করুক না কেন, প্রারম্ভিক অবস্থান থেকে চূড়ান্ত অবস্থানের দিকে সরাসরি নির্দেশ করে।
২. প্রশ্ন: ভেক্টর সরণ এবং অতিক্রান্ত দূরত্বের মধ্যে পার্থক্য কী? উত্তর: অতিক্রান্ত দূরত্ব হলো কোনো বস্তুর দ্বারা গৃহীত পথের মোট দৈর্ঘ্য এবং এটি একটি স্কেলার রাশি। অপরদিকে, ভেক্টর সরণ হলো শুরু এবং শেষ বিন্দুর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম সরলরৈখিক দূরত্ব, যা একটি নির্দিষ্ট দিক নির্দেশ করে এবং একে একটি ভেক্টর রাশি হিসেবে গণ্য করা হয়।
৩. প্রশ্ন: যদি কোনো ব্যক্তি ৩ কিমি উত্তরে এবং তারপর ৪ কিমি পূর্বে হাঁটেন, তাহলে তার লব্ধি সরণ কত হবে? উত্তর: সমকোণী ত্রিভুজের জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে, লব্ধি সরণ হলো √3 / 2 + 4/2 , যা ৫ কিমি। দিকটি হলো উত্তর-পূর্ব।
৪. প্রশ্ন: সরণের মান কি মোট অতিক্রান্ত দূরত্বের চেয়ে বেশি হতে পারে? উত্তর: না, সরণের মান কখনোই মোট অতিক্রান্ত দূরত্বের চেয়ে বেশি হতে পারে না। পথটি সরলরেখা হলে সরণের মান সমান হতে পারে, অথবা পথটি সরলরেখা না হলে সরণের মান কম হতে পারে।
৫. প্রশ্ন: ভেক্টর সরণকে লেখচিত্রের মাধ্যমে কীভাবে প্রকাশ করা হয়? উত্তর: ভেক্টর সরণকে লেখচিত্রের মাধ্যমে একটি তীরচিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তীরচিহ্নের শুরুর বিন্দুটি প্রাথমিক অবস্থান, তীরচিহ্নের অগ্রভাগটি চূড়ান্ত অবস্থান এবং তীরচিহ্নের দৈর্ঘ্য সরণের মান নির্দেশ করে।
৬. প্রশ্ন: মোট সরণ নির্ণয় করার ক্ষেত্রে ভেক্টর যোগ কেন গুরুত্বপূর্ণ? উত্তর: ভেক্টর যোগ অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ যখন একাধিক সরণ জড়িত থাকে, তখন সেগুলো সব একই দিকে নাও হতে পারে। ভেক্টরগুলোকে পরপর যোগ করে আমরা কয়েকটি সরণের পর কোনো বস্তুর সামগ্রিক বা মোট সরণ নির্ণয় করতে পারি।
৭. প্রশ্ন: কোনো বস্তু কিছুদূর ঘোরার পর যদি তার শুরুর অবস্থানে ফিরে আসে, তবে তার সরণ কত হবে? উত্তর: কোনো বস্তু যদি তার শুরুর অবস্থানে ফিরে আসে, তবে তার সরণ শূন্য হবে, কারণ তার প্রাথমিক ও চূড়ান্ত অবস্থান একই থাকে।
৮. প্রশ্ন: সরণের কি ঋণাত্মক মান থাকতে পারে? উত্তর: ভেক্টর হিসেবে সরণের নিজের কোনো “ঋণাত্মক” মান নেই, কিন্তু এর উপাংশগুলোর থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা উত্তর দিককে ধনাত্মক ধরি, তবে দক্ষিণ দিকে যাওয়ার উপাংশটি ঋণাত্মক হবে। এটি সম্পূর্ণভাবে নির্বাচিত নির্দেশক বা স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উপর নির্ভর করে।
৯. প্রশ্ন: সরণকে কেন “লব্ধি” ভেক্টর বলা হয়? উত্তর: সরণকে “লব্ধি” ভেক্টর বলা হয়, কারণ এটি কোনো বস্তুর সমস্ত স্বতন্ত্র গতি (বা সরণ)-এর সম্মিলিত প্রভাবকে প্রকাশ করে। এটি অবস্থানের সামগ্রিক পরিবর্তনকে সংক্ষিপ্ত করে।
১০. প্রশ্ন: সরণ ভেক্টরের দিক কীভাবে নির্ণয় করা হয়? উত্তর: সরণ ভেক্টরের দিক নির্ণয় করা হয় প্রারম্ভিক অবস্থান এবং চূড়ান্ত অবস্থানকে সংযোগকারী রেখা দ্বারা। এটি শুরু থেকে শেষের দিকে সরাসরি নির্দেশ করে।
