উপাংশ ব্যবহার করে ভেক্টর যোগ – সমস্যা ও সমাধান
১. নিচের চিত্রে দেখানো তিনটি ভেক্টর।
V1 = 30
V 2 = 30
V 3 = 40
লব্ধি ভেক্টরগুলো কী?
জ্ঞাত :
V 1 = 30, V 1 এবং x অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ = 30 °
V 2 = 30, V 2 এবং x অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ = 30 °
V₃ = ৪০, V₃ এবং x-অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ = ০ °
লব্ধি ভেক্টরসমূহ প্রয়োজন।
সমাধান:
V 1x = (V 1 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = 15√3। এটি ধনাত্মক, কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর (ডানদিকে) নির্দেশ করে।
V 1y = (V 1 )(sin 30 o ) = (30)(0.5) = 15। ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক y অক্ষ বরাবর (উপরের দিকে) নির্দেশ করে।
V 2x = (V 2 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = -15√3। এটি ঋণাত্মক, কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ঋণাত্মক x অক্ষ বরাবর (বাম দিকে) নির্দেশ করে।
V 2y = (V 2 )(sin 30 o ) = (30)(0.5) = 15। ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক y অক্ষ বরাবর (উপরের দিকে) নির্দেশ করে।
V 3x = (V 3 )(cos 0 o ) = (40)(1) = 40। ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর (ডানদিকে) নির্দেশ করে।
V 3y = (V 3 )(sin 0 o ) = (40)(0) = 0
লব্ধি ভেক্টরগুলোর উপাদানসমূহ :
V x = V 1x – V 2x + V 3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40
V y = V 1y + V 2y + V 3y = 15 + 15 = 30
২. দুটি বল পরস্পরের উপর লম্বভাবে রয়েছে, F₁ = ১২ নিউটন এবং F₂ = ৫ নিউটন। বল দুটির লব্ধি কত?
জ্ঞাত :
বল 1 (F 1 ) = 12 নিউটন
বল 2 (F 2 ) = 5 নিউটন
প্রয়োজনীয় : লব্ধি ভেক্টরসমূহ ( ΣF)
সমাধান:
ΣF 2 = F 1 2 + F 2 2 = 12 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169
ΣF = √ 169 = 13 নিউটন
৩. তিনটি ভেক্টর,
V1 = 30
V 2 = 30
V 3 = 40
লব্ধি ভেক্টরগুলো নির্ণয় করুন।
জ্ঞাত :
v 1 = 30, ঋণাত্মক x অক্ষের সাপেক্ষে 30 ° কোণ তৈরি করে।
v 2 = 30, ধনাত্মক x অক্ষের সাপেক্ষে 30 ∈ V (0) তৈরি করে ।
v 3 = 40, ধনাত্মক x অক্ষের সাপেক্ষে 0 ∈ V (0) তৈরি করে ।
লব্ধি ভেক্টরসমূহ প্রয়োজন।
সমাধান:
ভেক্টরের উপাদানসমূহ:
v 1x = v 1 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( ঋণাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ঋণাত্মক x অক্ষ বরাবর (বাম দিকে) নির্দেশ করে )
v 1y = v 1 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 ( ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক y অক্ষ বরাবর (উপরের দিকে) নির্দেশ করে )
v 2x = v 2 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর (ডানদিকে ) নির্দেশ করে )
v 2y = v 2 sin 30 o = (30)(0.5) = 15 ( ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক y অক্ষ বরাবর (উপরের দিকে) নির্দেশ করে। )
v 3x = v 3 cos 0 o = (40)(1) = 40 ( ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর (ডানদিকে) নির্দেশ করে। )
v 3y = v 3 sin 0 o = (40)(0) = 0
লব্ধি ভেক্টরগুলোর উপাদানসমূহ :
v x = – v 1x + v 2x + v 3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40
v y = v 1y + v 2y + v 3y = 15 + 15 = 30
লব্ধি ভেক্টর:
৪. নিচের চিত্রে দেখানো তিনটি ভেক্টরের লব্ধি কত?
জ্ঞাত :
F1 = ১০ নিউটন, তোলে 60o ধনাত্মক x অক্ষ সম্পর্কে
F 2 = 3 নিউটন, যা ঋণাত্মক x অক্ষের সাপেক্ষে 0 ° কোণ তৈরি করে ।
F₃ = ৬ নিউটন , যা ঋণাত্মক y অক্ষের সাপেক্ষে ৬০ ° কোণ তৈরি করে।
লব্ধি ভেক্টরটি প্রয়োজন।
সমাধান:
ভেক্টরের উপাদানসমূহ:
F 1x = F 1 cos 60 o = (3)(0.5) = 1.5 N ( ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর (ডানদিকে ) নির্দেশ করে )
F 1y = F 1 sin 60 o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক y অক্ষ বরাবর (উপরের দিকে) নির্দেশ করে )
F 2x = F 2 cos 0 o = (3)(1) = -3 N ( ঋণাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ঋণাত্মক x অক্ষ বরাবর (বাম দিকে) নির্দেশ করে )
F 2y = F 2 sin 0 o = (3)(0) = 0
F 3x = F 3 cos 60 o = (6)(0.5) = 3 N ( ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর (ডানদিকে ) নির্দেশ করে )
F 3y = F 3 sin 60 o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( ঋণাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ঋণাত্মক y অক্ষ বরাবর ( নিচের দিকে) নির্দেশ করে )
লব্ধি ভেক্টরগুলোর উপাদানসমূহ :
ΣF x = F 1x – F 2x + F 3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N
ΣF y = F 1y + F 2y – F 3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N
লব্ধি ভেক্টর:
৫. দুটি বল, F₁ = ১৫ নিউটন এবং F₂ = ৯ নিউটন । উভয় ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ ৬০°। ভেক্টর দুটির লব্ধি কত?
আবশ্যক :
বল ১ (F 1 ) = ১৫ নিউটন
বল 2 (F 2 ) = 9 নিউটন
কোণ ( θ) = ৬০ °
লব্ধি ভেক্টরটি প্রয়োজন।
সমাধান:
৬. নিচের চিত্রে দেখানো তিনটি ভেক্টরের লব্ধি কত?
জ্ঞাত :
F1 = ২০ নিউটন, F এর মধ্যবর্তী কোণ1 এবং x অক্ষ = 0
F₃ = ২৪ নিউটন, F₃ এবং x অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ = ৬০°
F₃ = ২৪ নিউটন, F₃ এবং x অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ = ৬০°
লব্ধি ভেক্টরটি প্রয়োজন।
সমাধান:
ভেক্টরের উপাদানসমূহ:
F 1x = (F 1 )(cos 0) = (20)(1) = 20। ধনাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক x অক্ষ বরাবর (ডানদিকে ) নির্দেশ করে।
F 1y = (F 1 )(sin 0) = (20)(0) = 0
F 2x = (F 2 )(cos 60) = (20)(0.5) = -10। ঋণাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ঋণাত্মক x অক্ষ বরাবর (বাম দিকে) নির্দেশ করে।
F 2y = (F 2 )(sin 60) = (20)(0.5√3) = 10√3। এটি ধনাত্মক, কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ধনাত্মক y অক্ষ বরাবর (উপরের দিকে) নির্দেশ করে।
F 3x = (F 3 )(cos 60) = (24)(0.5) = -12। ঋণাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ঋণাত্মক x অক্ষ বরাবর (বাম দিকে) নির্দেশ করে।
F 3y = (F 3 )(sin 60) = (24)(0.5√3) = -12√3। N ঋণাত্মক কারণ এই ভেক্টর উপাংশটি ঋণাত্মক y অক্ষ বরাবর ( নীচের দিকে) নির্দেশ করে।
লব্ধি ভেক্টরগুলোর উপাদানসমূহ :
F x = F 1x – F 2x – F 3x = 20 – 10 – 12 = -2
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3
লব্ধি ভেক্টর:
