Прыклады пытанняў па квантавай тэорыі Планка
Квантавая тэорыя Планка стала вырашальным паваротным момантам у сучаснай фізіцы, змяніўшы наша разуменне выпраменьвання чорнага цела і квантавай механікі. Прадстаўленая Максам Планкам у 1900 годзе, гэтая тэорыя дапамагае растлумачыць з'явы, якія класічная фізіка не магла растлумачыць. У гэтым артыкуле будзе разгледжана квантавая тэорыя Планка праз абмеркаванне прыкладаў задач, ад асноўных паняццяў да іх прымянення.
Перадгісторыя квантавай тэорыі Планка
Перш чым абмяркоўваць прыклад задачы, важна зразумець перадумовы квантавай тэорыі Планка. У канцы 19 стагоддзя класічная фізіка сутыкнулася з сур'ёзнай праблемай тлумачэння спектру выпраменьвання чорнага цела. Выпраменьванне чорнага цела — гэта электрамагнітнае выпраменьванне, якое выпраменьваецца аб'ектамі пры пэўнай тэмпературы.
Класічная фізіка, выкарыстоўваючы закон Рэлея-Джынса, прадказвала, што энергія выпраменьвання будзе бясконца павялічвацца на высокіх частотах, што вядома як «ультрафіялетавая катастрофа». Менавіта тут Макс Планк знайшоў рэвалюцыйнае рашэнне: ён выказаў здагадку, што энергія выпраменьваецца або паглынаецца дыскрэтнымі пакетамі, якія называюцца «квантамі».
Асноўная формула квантавай тэорыі Планка
Асноўная формула квантавай энергіі згодна з тэорыяй Планка выглядае наступным чынам:
\[ E = h \nu \]
Дзе:
– \(E \) — энергія квантавага пакета (таксама званага квантамі),
– \(h \) — пастаянная Планка (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \( \nu \) — частата выпраменьвання.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1: Разлік квантавай энергіі
Пытанне:
Фатон мае частату \(5 \times 10^{14} \, \text{Гц} \). Вылічыце энергію фатона згодна з тэорыяй Планка.
Абмеркаванне:
Вядома:
– Частата ( \nu = 5 \times 10^{14} \, \text{Гц} \)
– Пастаянная Планка (h = 6.626 × 10⁻⁴, Js)
Выкарыстоўваючы квантавую формулу энергіі Планка:
\[ E = h \nu \]
E = (6.626 × 10⁻⁴, Дж/с) × (5 × 10⁻¹⁴, Гц)
\[ E = 3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \]
Такім чынам, энергія фатона роўная \(3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \).
Пытанне 2: Сувязь паміж даўжынёй хвалі і энергіяй
Пытанне:
Вызначце энергію фатона, даўжыня хвалі якога складае \(600 \, \text{нм} \).
Абмеркаванне:
Вядома:
– Даўжыня хвалі (λ = 600 нм = 600 × 10⁻⁹, м)
– Хуткасць святла (c = 3 * 10^{8}, м/с)
– Пастаянная Планка (h = 6.626 × 10⁻⁴, Js)
Спачатку нам трэба знайсці частату ( \nu \), выкарыстоўваючы сувязь паміж даўжынёй хвалі і частатой:
\[ \nu = \frac{c}{\lambda} \]
\[ \nu = \frac{3 \times 10^{8} \, \text{м/с}}{600 \times 10^{-9} \, \text{м}} \]
\[ \nu = 5 \times 10^{14} \, \text{Гц} \]
Цяпер мы можам скарыстацца квантавай формулай энергіі Планка:
\[ E = h \nu \]
E = (6.626 × 10⁻⁴, Дж/с) × (5 × 10⁻¹⁴, Гц)
\[ E = 3.313 \times 10^{-19} \, \text{J} \]
Такім чынам, энергія фатона з даўжынёй хвалі 600 нм роўная 3.313 × 10⁻¹⁹ Дж.
Пытанне 3: Энергія, звязаная з выпраменьваннем чорнага цела
Пытанне:
Тэмпература чорнага цела складае 3000 К. Якая пікавая частата выпраменьвання, якое стварае аб'ект?
Абмеркаванне:
Вядома:
– Тэмпература (T = 3000 К)
– Пастаянная Больцмана (k = 1.38 × 10⁻²⁻³, Дж/К)
Згодна з законам Віна, пікавая даўжыня хвалі ( \lambda_{\text{max}} \) выпраменьвання чорнага цела вызначаецца па формуле:
\[ \lambda_{\text{max}} T = 2.898 \times 10^{-3} \, \text{м K} \]
Такім чынам:
\[ \lambda_{\text{max}} = \frac{2.898 \times 10^{-3} \text{м K}}{3000 \text{K}} \]
\[ \lambda_{\text{max}} = 9.66 \times 10^{-7} \, \text{м} \]
Каб знайсці пікавую частату \( \nu_{\text{max}} \), мы выкарыстоўваем:
\[ \nu_{\text{max}} = \frac{c}{\lambda_{\text{max}}} \]
\[ \nu_{\text{max}} = \frac{3 \times 10^{8} \, \text{м/с}}{9.66 \times 10^{-7} \, \text{м}} \]
\[ \nu_{\text{max}} \прыблізна 3.10 \times 10^{14} \, \text{Гц} \]
Такім чынам, пікавая частата выпраменьвання, якое ствараецца чорным целам пры тэмпературы 3000 К, складае каля (3.10 × 10^{14} Гц).
Пытанне 4: Размеркаванне энергіі выпраменьвання
Пытанне:
Вылічыце поўную прамяністую энергію, якая выпраменьваецца чорным целам з адзінкі плошчы паверхні пры тэмпературы 5000 К.
Абмеркаванне:
Вядома:
– Тэмпература (T = 5000 К)
– Пастаянная Стэфана-Больцмана (σ = 5.67 × 10⁻⁶, Вт/м²/К4)
Формула размеркавання поўнай энергіі выпраменьвання, якое выпраменьвае чорнае цела, мае выгляд:
\[ E = \sigma T^4 \]
E = (5.67 × 10⁻⁵ Вт/м²/К⁻⁴) × (5000 К)⁻⁴]
\[ E = 5.67 \times 10^{-8} \times 625 \times 10^{12} \]
\[ E \прыблізна 3.54375 \times 10^{7} \, \text{Вт/м}^2 \]
Такім чынам, агульная прамяністая энергія, якая выпраменьваецца чорным целам пры тэмпературы 5000 K, складае \(3.54375 \times 10^{7} \, \text{Вт/м}^2 \).
Выснова
Квантавая тэорыя Планка забяспечвае найважнейшую аснову для сучаснай фізікі, разумеючы, як энергія выпраменьваецца і паглынаецца ў выглядзе квантаў. Выкарыстоўваючы фундаментальную формулу (E = h), мы можам вылічыць розную важную інфармацыю, у тым ліку энергію фатона, частату і даўжыню хвалі, звязаныя з электрамагнітным выпраменьваннем, і размеркаванне энергіі выпраменьвання ад чорнага цела. Гэта даследаванне не толькі парушыла межы класічнай фізікі, але і праклала шлях для развіцця квантавай механікі і розных тэхналагічных інавацый.
