Прыклад пытанняў для абмеркавання зруху Віна
Пендахулуан
Зрух Віна — важнае паняцце ў фізіцы, асабліва пры вывучэнні выпраменьвання чорнага цела. Яно сцвярджае, што даўжыня хвалі ў піку выпраменьвання чорнага цела зрушваецца ў бок карацейшых даўжынь хваль па меры павышэння тэмпературы аб'екта. Ураўненне зруху Віна фармулюецца наступным чынам:
\[ \lambda_{max} = \frac{b}{T} \]
Дзе:
– \( \lambda_{max} \) — даўжыня хвалі ў піку выпраменьвання (у метрах),
– \(T \) — абсалютная тэмпература чорнага цела (у градусах Кельвіна),
– а b — гэта пастаянная зрушэння Віна, якая мае значэнне каля 2.897 × 10⁻³ мК.
Каб лепш зразумець гэтую канцэпцыю, давайце падрабязней абмяркуем некаторыя прыклады зруху Віна.
Прыклад пытання 1: Вызначэнне максімальнай даўжыні хвалі
Пытанне: Гарачы аб'ект выпраменьвае, як чорнае цела з тэмпературай 5000 К. Вызначце даўжыню хвалі ў піку яго выпраменьвання!
Абмеркаванне:
Вядома:
– Тэмпература цела, \(T = 5000 \) K
Выкарыстоўваючы ўраўненне зрушэння Віна:
\[ \lambda_{max} = \frac{b}{T} \]
Падстаўляем значэнні тэмпературы і пастаяннай зрушэння Віна:
\[ \lambda_{max} = \frac{2.897 \times 10^{-3} \text{ мК}}{5000 \text{ К}} \]
Разлічыце значэнне:
\[ \lambda_{max} = 5.794 \times 10^{-7} \text{ м} = 579.4 \text{ нм} \]
Такім чынам, даўжыня хвалі ў піку выпраменьвання складае 579.4 нм (нанаметраў).
Прыклад пытання 2: Вызначэнне тэмпературы, ведаючы максімальную даўжыню хвалі
Пытанне: Калі максімальная даўжыня хвалі выпраменьвання ад чорнага цела складае 400 нм, якая яго тэмпература?
Абмеркаванне:
Вядома:
– Максімальная даўжыня хвалі, (λmax = 400 нм = 400 × 10⁻⁹ м)
Выкарыстоўваючы ўраўненне зрушэння Віна:
\[ \lambda_{max} = \frac{b}{T} \]
Перафармуйце ўраўненне, каб знайсці тэмпературу:
\[ T = \frac{b}{\lambda_{max}} \]
Замена значэнняў:
\[ T = \frac{2.897 \times 10^{-3} \text{ мК}}{400 \times 10^{-9} \text{ м}} \]
Разлічыце значэнне:
\[ Т = 7242.5 \ тэкст{ К} \]
Такім чынам, тэмпература складае 7242.5 К.
Прыклад 3: Максімальны зрух даўжыні хвалі з-за змены тэмпературы
Пытанне: Калі тэмпература чорнага цела павялічыцца з 3000 К да 6000 К, як зменіцца максімальная даўжыня хвалі яго выпраменьвання?
Абмеркаванне:
Вядома:
– Пачатковая тэмпература, \(T_1 = 3000 \) K
– Канчатковая тэмпература, \(T_2 = 6000 \) K
Выкарыстоўваючы ўраўненне зруху Віна для пачатковай тэмпературы:
\[ \lambda_{max1} = \frac{2.897 \times 10^{-3} \text{ мК}}{3000 \text{ К}} \]
\[ \lambda_{max1} = 9.657 \times 10^{-7} \text{ м} = 965.7 \text{ нм} \]
Выкарыстоўваючы ўраўненне зруху Віна для канчатковай тэмпературы:
\[ \lambda_{max2} = \frac{2.897 \times 10^{-3} \text{ мК}}{6000 \text{ К}} \]
\[ \lambda_{max2} = 4.828 \times 10^{-7} \text{ м} = 482.8 \text{ нм} \]
Такім чынам, пачатковая максімальная даўжыня хвалі складае 965.7 нм, а пры больш высокіх тэмпературах яна становіцца 482.8 нм.
Прыклад пытання 4: Разлік выкідаў ад Сонца
Пытанне: Тэмпература паверхні Сонца складае прыблізна 5778 К. Вызначце максімальную даўжыню хвалі выпраменьвання, якое выпраменьвае Сонца.
Абмеркаванне:
Вядома:
– Тэмпература паверхні Сонца, \(T = 5778 \) K
Выкарыстоўваючы ўраўненне зрушэння Віна:
\[ \lambda_{max} = \frac{b}{T} \]
Падстаўляем значэнні тэмпературы і пастаяннай зрушэння Віна:
\[ \lambda_{max} = \frac{2.897 \times 10^{-3} \text{ мК}}{5778 \text{ К}} \]
Разлічыце значэнне:
\[ \lambda_{max} = 5.015 \times 10^{-7} \text{ м} = 501.5 \text{ нм} \]
Такім чынам, даўжыня хвалі ў піку выпраменьвання Сонца складае 501.5 нм.
Прыклад пытання 5: Вызначэнне колеру па максімальнай даўжыні хвалі
Пытанне: Максімальная даўжыня хвалі выпраменьвання ад чорнага цела складае 700 нм. Вызначце прыблізны колер выпраменьвання, якое выпраменьвае аб'ект.
Абмеркаванне:
Даўжыня хвалі 700 нм знаходзіцца ў бачным спектры, у прыватнасці, у чырвоным дыяпазоне. У бачным спектры чалавечага вока даўжыня хвалі 700 нм звычайна ідэнтыфікуецца як чырвоны колер.
Такім чынам, выпраменьванне ад аб'екта, хутчэй за ўсё, будзе чырвоным.
Выснова
Зрух Віна — гэта фундаментальная канцэпцыя, якая дапамагае нам зразумець сувязь паміж тэмпературай абсалютна чорнага цела і даўжынёй хвалі выпраменьванага выпраменьвання. Прыведзеныя вышэй прыклады дапамогуць нам лепш зразумець зрух Віна. Гэтая канцэпцыя важная не толькі ў тэарэтычнай фізіцы, але і мае розныя практычныя прымяненні, напрыклад, у астраноміі, дзе мы можам вызначыць тэмпературу зоркі на аснове даўжыні хвалі выпраменьванага выпраменьвання.
Дакладнасць і яснасць матэматычных аперацый маюць вырашальнае значэнне пры працы з такімі праблемамі, а разуменне фізічнага кантэксту дапамагае інтуітыўна ўжываць паняцці ў розных сітуацыях.
