7 أمثلة على مسائل الزخم الزاوي
الزخم الزاوي
1. يمتلك الشيء عزم القصور الذاتي 2 كجم م2 وتدور حول محور ثابت مع السرعة الزاوية 1 راديان/ثانية. كم مقدارها؟ الزخم الزاوي ذلك الشيء؟
مناقشة
من المعروف أن:
عزم القصور الذاتي (I) = 2 كجم م2
السرعة الزاوية (ω) = 1 راديان/ثانية
سأل: الزخم الزاوي (L)
الجواب:
صيغة الزخم الزاوي:
L = I ω
الوصف: L = الزخم الزاوي (كجم متر)2/s), I = عزم القصور الذاتي (كجم م2)، ω = السرعة الزاوية (راديان/ثانية)
الزخم الزاوي:
L = I ω = (2)(1) = 2 كجم م2/s
2. بكرة قرصية صلبة كتلتها 2 كجم ونصف قطرها 0,1 متر. إذا دارت البكرة حول محورها بسرعة زاوية ثابتة مقدارها 2 راديان/ثانية، فما مقدار الزخم الزاوي للبكرة؟
مناقشة
من المعروف أن:
كتلة بكرة القرص الصلب (م) = 2 كيلوغرامًا
نصف قطر بكرة القرص الصلب (r) = 0.1 متر
السرعة الزاوية (ω) = 2 راديان/ثانية
سأل: الزخم الزاوي للبكرة
الجواب:
صيغة عزم القصور الذاتي لقرص صلب إذا كان يدور حول محور كما هو موضح في الصورة:
I = 1/2 mr2
الوصف: I = عزم القصور الذاتي (كجم متر)2), m = الكتلة (كجم)، r = نصف القطر (متر)
عزم القصور الذاتي لقرص صلب:
I = 1/2 (2)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 كجم م2
الزخم الزاوي:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 كجم م2/s
3. تدور كرة صلبة كتلتها 2 كجم ونصف قطرها 0,2 متر حول محورها بسرعة زاوية قدرها 4 راديان/ثانية. احسب الزخم الزاوي للكرة الصلبة!
مناقشة
من المعروف أن:
كتلة الكرة الصلبة (م) = 2 كيلوغرامات
نصف قطر الكرة الصلبة (r) = 0,2 متر
السرعة الزاوية (ω) = 4 راديان/ثانية
سأل: الزخم الزاوي لكرة صلبة
الجواب:
صيغة عزم القصور الذاتي لكرة صلبة إذا دارت حول محور كما هو موضح في الصورة:
I = (2/5) mr2
الوصف: I = عزم القصور الذاتي (كجم متر)2), m = الكتلة (كجم)، r = نصف القطر (متر)
عزم القصور الذاتي للكرة الصلبة:
I = (2/5)(2)(0,2)2 = (4/5)(0,04) = 0,032 كجم م2
الزخم الزاوي لكرة صلبة:
L = I ω = (0,032)(4) = 0,128 كجم م2/s
4. يتحرك جسم كتلته 1 كجم في مسار دائري بسرعة زاوية ثابتة مقدارها 2 راديان/ثانية. احسب الزخم الزاوي إذا كان نصف قطر مسار الجسيم 10 سم.
مناقشة
من المعروف أن:
كتلة الجسم (م) = 1 كيلوغرامات
نصف قطر كرة صلبة (نق) = 10 سم = 10/100 = 0,1 متر
السرعة الزاوية (ω) = 2 راديان/ثانية
سأل: الزخم الزاوي
الجواب:
صيغة عزم القصور الذاتي للجسيم:
أنا = السيد2 = (1)(0,1)2 = (1)(0,01) = 0,01 كجم م2
الزخم الزاوي:
L = I ω = (0,01)(2) = 0,02 كجم م2/s
5. يدور قرص أسطواني صلب متجانس حول محوره بسرعة زاوية قدرها 5 راديان/ثانية. مستوى القرص موازٍ للمستوى الأفقي. كتلة القرص 2 كجم ونصف قطره 0,2 متر. إذا وُضعت حلقة كتلتها 0,1 كجم ونصف قطرها 0,2 متر فوق القرص، بحيث يكون مركز الحلقة فوق مركز القرص مباشرةً، فسيدور القرص والحلقة معًا بسرعة زاوية قدرها...
مناقشة
من المعروف أن:
كتلة الأسطوانة الصلبة (م)1) = 2 كيلوغرام
نصف قطر أسطوانة صلبة (r1) = 0,2 أمتار
السرعة الزاوية لأسطوانة صلبة (ω1) = 5 راد / ث
كتل الحلقات (م2) = 0,1 كيلوغرام
نصف قطر الحلقة (r)2) = 0,2 أمتار
سأل: السرعة الزاوية للأسطوانات والحلقات
الجواب:
عزم القصور الذاتي لأسطوانة صلبة: I = 1/2 m1 r12 = ½ (1)(0,2)2 = (1)(0,04) = 0,04 كجم م2
عزم القصور الذاتي للحلقة: I = mr2 = (0,1)(0,2)2 = (0,1)(0,04) = 0,004 كجم م2
عزم القصور الذاتي لأسطوانة صلبة وحلقة (I) = 0,04 + 0,004 = 0,044 كجم.م2
الزخم الزاوي الابتدائي (L)1) = الزخم الزاوي النهائي (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,04)(5) = (0,044)(ω2)
(0,2) = (0,044)(ω2)
ω2 = 0,2 : 0,044
ω2 = 4,5 rad / s
6. تدور راقصة باليه بذراعيها الممدودتين حتى يصل طولهما إلى 150 سم وبسرعة زاوية قدرها 10 راديان/ثانية. ثم تطوي الراقصة ذراعيها حتى يصل طولهما إلى 75 سم عند المرفق. ما هي السرعة الزاوية النهائية؟
مناقشة
من المعروف أن:
نصف القطر 1 (r1) = 150 سم = 1,5 متر
نصف القطر 2 (r2) = 75 سم = 0,75 متر
السرعة الزاوية 1 (ω1) = 10 راد / ث
سأل: السرعة الزاوية 2 (ω2)
الجواب:
عزم القصور الذاتي الابتدائي: I1 = السيد12 = (م)(1,5)2 = 2,25 م
العزم النهائي للقصور الذاتي: I2 = السيد22 = (م)(0,75)2 = 0,5625 م
الزخم الزاوي الابتدائي (L)1) = الزخم الزاوي النهائي (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(2,25 م)(10) = (0,5625 م)(ω2)
22,5 م = (0,5625 م)(ω2)
22,5 = (0,5625)(ω2)
ω2 = 22,5 / 0,5625
ω2 = 40 rad / s
7. يدور قرص أسطواني صلب متجانس في البداية حول محوره بسرعة زاوية قدرها 4 راديان/ثانية.-1كتلة القرص ونصف قطره 1 كجم و0,5 متر على التوالي. إذا وُضعت حلقة فوق القرص كتلتها 0,2 كجم ونصف قطرها 0,1 متر، وكان مركز الحلقة فوق مركز القرص الأسطواني الصلب تمامًا، فإن القرص الأسطواني الصلب والحلقة سيدوران معًا بسرعة زاوية...
أ. 1 راديان/ثانية
ب. 2 راديان/ثانية
ج. 3 راديان/ثانية
د. 4 راديان/ثانية
E. 5 راديان/ثانية
مناقشة :
عزم القصور الذاتي أسطوانة صلبة: I = ½ mr2 = ½ (1 كجم)(0,5 م)2 = (0,5)(0,25) = 0,125 كجم م2
عزم القصور الذاتي للحلقة: I = mr2 = (0,2 كجم)(0,1 م)2 = (0,2)(0,01) = 0,002 كجم م2
الزخم الزاوي الابتدائي (L)1) = الزخم الزاوي النهائي (L2)
I1 ω1 = I2 ω2
(0,125 كجم م2)(4 rad/s) = (0,125 kg m2 + 0,002 كجم م2)(ω2)
(0,5) = (0,127)(ω2)
ω2 = 0,5 : 0,127
ω2 = 4 rad / s
الإجابة الصحيحة هي د.
