مومن إنرسيا

مادة عزم القصور الذاتي

يوجد جسمان، أحدهما ذو كتلة صغيرة والآخر ذو كتلة كبيرة. أيّ الجسمين أسهل في التحريك عند دفعه بنفس القوة؟ تُظهر الحقيقة أن الأجسام ذات الكتلة الأصغر أسهل في التحريك من الأجسام ذات الكتلة الأكبر. لذا، فإن مقدار كتلة الجسم يُحدد مقدار تسارعه عند تطبيق قوة عليه. فإذا كانت كتلة الجسم في الحركة المستقيمة تُحدد سهولة أو صعوبة تحريكه (تسارعه)، فإن عزم القصور الذاتي للجسم في الحركة الدورانية هو الذي يُحدد سهولة أو صعوبة تحريكه.

الجسيمات
لنفترض جسيمًا دوارًا. جسيم كتلته m يتعرض لقوة F تجعله يدور حول محور الدوران O. يبعد الجسيم مسافة r عن محور الدوران. في البداية، يكون الجسيم ساكنًا (v = 0). بعد تحريكه بفعل القوة F، يدور الجسيم بسرعة معينة بحيث يكون له تسارع مماس (a tan).
تُعبّر المعادلة التالية عن العلاقة بين القوة (F) والكتلة (m) والتسارع المماسي (a tan) للجسيم:
يدور الجسيم بحيث يكتسب تسارعًا زاويًا. وتُعبّر المعادلة التالية عن العلاقة بين التسارع المماسي والتسارع الزاوي:
استبدل التسارع المماسي (a tan) في المعادلة 3 بالتسارع المماسي (a tan) في المعادلة 4.
اضرب الطرفين الأيسر والأيمن في r:
r F هو عزم القوة و mr² يمثل عزم القصور الذاتي للجسيم I). توضح المعادلة 5 العلاقة بين عزم القوة، وعزم القصور الذاتي، والتسارع الزاوي لجسيم دوار. المعادلة 5 هي معادلة قانون نيوتن الثاني للجسيم الدوار.
I هو حاصل ضرب كتلة الجسيم (m) ومربع المسافة بين الجسيم ومحور الدوران (r).²).
المعلومات:
I = عزم القصور الذاتي للجسيم، m = كتلة الجسيم، r = المسافة بين الجسيم ومحور الدوران
تُستخدم المعادلة 6 لتحديد عزم القصور الذاتي لجسيم دوار.
لكي تتمكن من فهم مراجعة عزم القصور الذاتي للجسيمات بشكل أفضل، يرجى دراسة أمثلة على مسائل عزم القصور الذاتي للجسيمات.

جسم صلب متجانس
يتكون الجسم الصلب من العديد من الجسيمات المنتشرة في جميع أنحائه. وعزم الجسم الصلب هو مجموع عزوم جميع الجسيمات التي تُكوّن الجسم الصلب.
لتحديد عزم الدوران (I) لجسم صلب، يُرصد الجسم أثناء دورانه، لأن موقع محور الدوران يؤثر على قيمة العزم. إضافةً إلى اعتماده على موقع محور الدوران، يعتمد عزم الدوران (I) للجسيم أيضًا على كتلته (m) ومربع المسافة بينه وبين محور الدوران (r).²كتلة جميع الجسيمات التي تُكوّن الجسم تساوي كتلة الجسم نفسه. تكمن المشكلة في أن بُعد كل جسيم عن محور الدوران مُتغير.
لننظر في اشتقاق صيغة حلقة رقيقة نصف قطرها R وكتلتها M. إذا كان محور الدوران في مركز الحلقة، فإن جميع الجسيمات المكونة للحلقة تقع على مسافة r من محور الدوران. عزم الدوران I للحلقة الرقيقة يساوي مجموع عزوم جميع الجسيمات المكونة لها.
كل جسيم يشكل الحلقة الرقيقة يقع على مسافة r من محور الدوران بحيث r₁ = ص₂ = ص₃ = r = R.
تركيبة الخاتم الرقيق:
I = MR²
المعلومات:
I = عزم القصور الذاتي للحلقة الرقيقة، M = كتلة الحلقة الرقيقة، R = نصف قطر الحلقة الرقيقة
ماذا لو لم يكن محور الدوران يقع في مركز الحلقة؟ إذا لم يكن محور الدوران يقع في مركز الحلقة، فلا يمكن اشتقاق صيغة الحلقة الرقيقة باستخدام الطريقة المذكورة أعلاه لأن المسافة بين كل جسيم ومحور الدوران تختلف.

صيغة الجسم الصلب المتجانس
فيما يلي صيغ لعدة أجسام صلبة متجانسة.

مثال على المشكلات

1. سؤال الأمم المتحدة SMA/MA 2017

انتبه إلى الجدول التالي!

تتصل الأجسام P و Q و R بقضيب عديم الكتلة. مقدار عزم القصور الذاتي للنظام حول محور عمودي على المستوى المار بمحور الجسم P هو...

مناقشة

من المعروف:

السؤال: عزم القصور الذاتي للنظام

جواب:

عزم القصور الذاتي للجسم Q:

I _Q = mr ² = (0,5)(10 ² ) = (0,5)(100) = 50 kg m ²

عزم القصور الذاتي للجسم R:

I _R = mr ² = (3)(6 ² ) = (3)(36) = 108 kg m ²

عزم القصور الذاتي للجسم P:

يمر محور الدوران عبر محور الجسم P بحيث يكون r = 0.

عزم القصور الذاتي للنظام:

I = 50 كجم م ² + 108 كجم م ²

I = 158 كجم م ²