أمثلة على أسئلة الحركة الدائرية المنتظمة

11 مثالاً على مسائل الحركة الدائرية المنتظمة

1. يتحرك جسيم في مسار دائري بسرعة زاوية ثابتة مقدارها 10 راديان/ثانية. حدد (أ) السرعة الزاوية للجسيم بعد 10 ثوانٍ (ب) الزاوية التي يشكلها الجسيم بعد 10 ثوانٍ.
مناقشة
(أ) السرعة الزاوية بعد 10 ثوانٍ
يتحرك الجسيم في مسار دائري منتظم، أي أنه يتحرك بسرعة زاوية ثابتة. لذا، تبقى السرعة الزاوية بعد 10 ثوانٍ مساوية لـ 10 راديان/ثانية.

(ب) الزاوية المحصورة بعد 10 ثوانٍ
سرعة زاوية ثابتة مقدارها 10 راديان/ثانية تعني أن الجسيم يدور بزاوية مقدارها 10 راديان كل ثانية. بعد ثانيتين، يكون الجسيم قد دار بزاوية مقدارها 2 × 10 = 20 راديان. بعد 10 ثوانٍ، يكون الجسيم قد دار بزاوية مقدارها 10 × 10 = 100 راديان.

٢. تتحرك نقطة على حافة أسطوانة في مسار دائري بسرعة ثابتة قدرها ١٠ م/ث. نصف قطر الأسطوانة = ١ متر. احسب: (أ) سرعة حافة الأسطوانة بعد ٥ ثوانٍ، (ب) المسافة التي قطعتها حافة الأسطوانة بعد ٥ ثوانٍ، (ج) التسارع المركزي للنقطتين اللتين تبعدان ٠.٥ متر و١ متر عن محور الدوران.
مناقشة

(A) سرعة نقطة على حافة الأسطوانة بعد 5 ثوانٍ
تتحرك الأسطوانة في دائرة بسرعة ثابتة، لذلك بعد 5 ثوانٍ، تظل سرعة حافة الأسطوانة 10 أمتار/ثانية.

(B) المسافة التي تقطعها نقطة على حافة الأسطوانة بعد 5 ثوانٍ
بدون صيغة
سرعة 10 أمتار/ثانية تعني أن النقطة على حافة الأسطوانة تتحرك 10 أمتار كل ثانية. بعد ثانية واحدة، تتحرك النقطة على حافة الأسطوانة 10 أمتار. بعد ثانيتين، تتحرك النقطة على حافة الأسطوانة 20 مترًا. بعد 5 ثوانٍ، تتحرك النقطة على حافة الأسطوانة في مسار دائري 50 مترًا.
باستخدام الصيغة :
ت = ق / ر
المسافة = السرعة × الزمن = (10)(5) = 50 مترًا
(C) التسارع المركزي (أ_s)
التسارع المركزي لنقطة تبعد مترًا واحدًا عن المحور هو:
a_s = الخامس² / r = 10² / 0,5 = 100 / 0,5 = 200 م/ث²
التسارع المركزي لنقطة تبعد مترًا واحدًا عن المحور هو:
a_s = الخامس² / r = 10² / 0,5 = 100 / 1 = 100 م/ث²

3. يدور قرص دوار نصف قطره متران بسرعة زاوية ثابتة قدرها 60 دورة في الدقيقة. حدد ما يلي: (أ) السرعة الزاوية للقرص الدوار بعد ثانيتين، (ب) الزاوية المحصورة بالقرص الدوار بعد دقيقة واحدة، (ج) السرعة المماسية والتسارع المركزي والمسافة التي تقطعها نقطة تبعد مترًا واحدًا عن محور الدوران، (د) السرعة المماسية والتسارع المركزي والمسافة التي تقطعها نقطة على حافة القرص الدوار.
مناقشة
معروف :
جواب :
(A) السرعة الزاوية ( ) بعد ثانيتين
السرعة الزاوية ثابتة، لذا بعد ثانيتين تظل السرعة الزاوية للقرص الدوار 6,28 راديان/ثانية
(B) الزاوية ( ) محاطة بقرص دوار بعد دقيقة واحدة
السرعة الزاوية التي تبلغ دورة واحدة في الثانية تعني أن القرص الدوار يدور دورة واحدة كل ثانية. بعد 60 ثانية، يكون القرص الدوار قد أكمل 60 دورة. أو بعبارة أخرى،
سرعة دوران زاوية تبلغ 6,28 راديان/ثانية تعني أن القرص الدوار يدور كل ثانية بزاوية 6,28 راديان. بعد 60 ثانية، يكون القرص الدوار قد دار بزاوية 376,8 راديان.

4. تدور عجلة سيارة 120 دورة كل 60 ثانية. ما هي السرعة الزاوية للعجلة؟ عبّر عنها بصيغة: (أ) عدد الدورات في الدقيقة (دورة في الدقيقة) أو دورات في الدقيقة (ب) درجات في الثانية (^o(ج) راديان في الثانية (راد/ث)
مناقشة
(A) السرعة الزاوية للعجلة بوحدات دورات في الدقيقة (rpm)
١٢٠ دورة / ٦٠ ثانية = ١٢٠ دورة / دقيقة واحدة = ١٢٠ دورة / دقيقة = ١٢٠ دورة في الدقيقة
(B) السرعة الزاوية للعجلة بالدرجات/ثانية (^o/ S)
دورة واحدة = 360^o120 دورة = 43200^o
إذن، 120 دورة / 60 ثانية = (120)(360)^o) / 60 ثانية = 43200^o / 60 ثانية = 720^o/ثانية
(C) السرعة الزاوية للعجلة بالراديان/ثانية (راد/ثانية)
دورة واحدة = 6,28 راديان
إذن، 120 دورة / 60 ثانية = (120)(6,28) راديان / 60 ثانية = 753,6 راديان / 60 ثانية = 12,56 راديان/ثانية

5. تدور كرة زجاجية في وعاء دائري قطره متر واحد. إذا دارت الكرة حول حافة الوعاء بسرعة زاوية ثابتة قدرها 50 دورة في الدقيقة، فإن السرعة الخطية والتسارع المركزي للكرة هما...

أ. 50 مللي ثانية^-1 و2500 مللي ثانية^-2
ب. 5π مللي ثانية^-1 و 25π² آنسة^-2
ج. 5π/3 مللي ثانية^-1 و 25π²/18 مللي ثانية^-2
د. 5π/6 مللي ثانية^-1 و 25π²/18 مللي ثانية^-2
هـ. 5π/12 مللي ثانية^-1 و 25π²/36 مللي ثانية^-2

مناقشة
من المعروف أن:
قطر الدائرة (D) = 1 متر
نصف قطر الدائرة (نق) = 0,5 متر
السرعة الزاوية (ω) = 50 دورة في الدقيقة = 50 دورة / دقيقة واحدة
دورة واحدة = 2π راديان
٥٠ دورة = ٥٠ × (٢π راديان) = ١٠٠π راديان
دقيقة واحدة = 60 ثانية
السرعة الزاوية (ω) = 100π راديان / 60 ثانية = (10π/6) راديان/ثانية
السؤال: السرعة الخطية (v) والتسارع المركزي (a)_s)
الجواب:

السرعة الخطية (v):
v = r ω = (0,5)(10π/6) = 5π/6 م/ث
التسارع المركزي (أ)_s):
a_s = الخامس²/r = (5π/6)² 0,5 = 25π²/36 : 0,5 = (25π²(36/1/0,5)
a_s = (25π²/18) م/ث²
الإجابة الصحيحة هي د.

6. يتحرك جسم في دائرة نصف قطرها 50 سم. إذا كان الجسم يدور بسرعة 120 دورة في الدقيقة، فإن زمن الدوران وسرعة الجسم هما على التوالي...

أ. 0,5 ثانية و 2π مللي ثانية^-1
ب. 0,5 ثانية و 0,2π مللي ثانية^-1
ج. 0,5 ثانية و π مللي ثانية^-1
د. 2 ثانية و 5π مللي ثانية^-1
هـ. 2 ثانية و 10π مللي ثانية^-1

مناقشة
من المعروف أن:
نصف القطر (نق) = 50 سم = 0,5 متر
السرعة الزاوية (ω) = 120 دورة في الدقيقة = 120 دورة / دقيقة واحدة = 120 دورة / 60 دقيقة = دورتان / ثانية واحدة
دورة واحدة = 2π راديان
السرعة الزاوية (ω) = 2 (2π راديان) / 1 ثانية = 4π راديان/ثانية
السؤال: زمن الدوران (T) والسرعة الخطية (v)
الجواب:
زمن الدورة أو الفترة (T):
الفترة هي الوقت الذي يستغرقه الجسم لإكمال دورة واحدة.
يدور الجسم دورتين في الثانية الواحدة، أي دورة واحدة في 0,5 ثانية. لذا، فإن زمن الدوران أو الفترة الزمنية هو 0,5 ثانية.
سرعة الجسم (v):
v = r ω = (0,5 متر)(4π راديان/ثانية) = 2π متر/ثانية
الإجابة الصحيحة هي أ.

ادرس المادة المتعلقة بالحركة الدائرية والحركة الدائرية المنتظمة لفهم مناقشة هذا السؤال بشكل أفضل.

7. تدور عجلة نصف قطرها 10 سم بانتظام، فتكمل 180 دورة في الدقيقة. السرعة الخطية لنقطة على حافة العجلة هي...
مناقشة
من المعروف أن:
سأل:
السرعة الخطية (v)؟
الجواب:
تقع النقطة على حافة العجلة على بعد 0,1 متر من مركز العجلة.
الإجابة الصحيحة هي أ.

8. يتحرك جسم بسرعة ثابتة v على طول مسار دائري نصف قطره R بتسارع مركزي (a_sبحيث يصبح التسارع المركزي ثلاثة أضعاف التسارع الأصلي...
أ. يُكتب حرف v أربع مرات، ويُكتب حرف R مرتين أخريين.
ب. يتم تكوين حرف v مرتين، ويتم تكوين حرف R أربع مرات أخرى.
ج. يتم تكرار v ثلاث مرات، ويتم تكرار R ثلاث مرات أخرى.
D. v تبقى و R تتضاعف مرة أخرى
تتضاعف قيمة E. v مرة أخرى وتبقى R
مناقشة
الإجابة الصحيحة هي ج.

9. العجلات A وB وC متصلة ببعضها البعض كما هو موضح في الشكل. إذا كانت أنصاف أقطار العجلات A وB وC هي 10 سم و4 سم و2 سم على التوالي، وتدور العجلة B بسرعة زاوية قدرها 5 راديان.^-1 ثم تدور العجلة C بسرعة زاوية قدرها ….
أ. 80 راديان.^-1
ب. 55 راديان.^-1
ج. 40 راديان.^-1
D. 25 rad.s^-1
10 راديان^-1
مناقشة
من المعروف أن:
الجواب:
العلاقة بين العجلة أ والعجلة ب
العجلتان A وB متصلتان ببعضهما، لذا تدوران معًا. وبسبب دورانهما معًا، فإن السرعة الزاوية للعجلة A تساوي السرعة الزاوية للعجلة B.
العلاقة بين العجلة أ والعجلة ج
محيط العجلة أ أكبر بكثير من محيط العجلة ج. إذا كانت العجلة ج قد اتخذت زاوية 360 درجة^o أو قم بدورة واحدة، وفي نفس الوقت، لم تصل العجلة أ إلى 360 درجة^o أو دورة واحدة. وبالتالي، فإن السرعة الزاوية للعجلة A ليست هي نفسها السرعة الزاوية للعجلة C.
مع ذلك، فإن العجلتين A وC متصلتان بحبل. ولأنهما متصلتان بحبل، فإن المسافة التي تقطعها حافة العجلة A خلال نفس الفترة الزمنية تساوي المسافة التي تقطعها حافة العجلة C. لذا فإن السرعة الخطية للعجلة A تساوي السرعة الخطية للعجلة B.
خاتمة :
الإجابة الصحيحة هي د.

جيراك ميلينجكار

10. جسم ذوحركة دائرية منتظمة بنصف قطر 6 أمتار. إذا أكمل الجسم 16 دورة في دقيقتين، فـ السرعة الخطية الشيء هو...
أ. 0,8 بيكو ثانية^-1
ب. 1,0 ب م م^-1
ج. 1,2 بيكو ثانية^-1
د. 1,4 ب م/ث^-1
هـ. 1,6 ب م م^-1
مناقشة
من المعروف أن:
نصف القطر (r) = 6 أمتار
السرعة الزاوية (ω) = 16 دورة / 2 دقيقة = 8 دورات / دقيقة = 8 دورات / 60 ثانية = 0,13 دورة / ثانية.
السؤال: السرعة الخطية (v)؟
الجواب:
صيغة العلاقة بين السرعة الخطية (v) و السرعة الزاوية (ω) :
v = r ω = (6 أمتار)(0,13 دورة/ثانية) = 0,8 دورة متر/ثانية
الإجابة الصحيحة هي أ.

إذا تم التعبير عنها بالراديان:
دورة واحدة = 2π راديان = 2(3,14) = 6,28 راديان
السرعة الزاوية = 8 (6,28) راديان / 60 ثانية = 50,24 راديان / 60 ثانية = 0,84 راديان/ثانية
v = r ω = (6 أمتار)(0,84 راديان/ثانية) = 5,04 راديان/ثانية

11. مروحة نصف قطرها 20/π سم يمكنها الدوران 4 مرات في ثانية واحدة. السرعة الخطية لطرف المروحة هي...
أ. 3,2 مللي ثانية^-1
ب. 1,6 مللي ثانية^-1
ج. 1,3 مللي ثانية^-1
د. 1,0 مللي ثانية^-1
هـ. 0,8 مللي ثانية^-1
مناقشة
من المعروف أن:
نصف القطر (نق) = 20/π م = 20 / 3,14 سم = 6,4 سم = 0,064 متر
السرعة الزاوية (ω) = 4 دورات / 1 ثانية = 4 دورات/ثانية
دورة واحدة = (2)(3,14) راديان = 6,28 راديان
السرعة الزاوية (ω) = (4)(6,28) راديان/ثانية = 25,12 راديان/ثانية
السؤال: ما هي السرعة الخطية (v) لطرف المروحة؟
الجواب:
v = r ω = (0,064 متر)(25,12 راديان/ثانية) = 1,6 متر/ثانية
الإجابة الصحيحة هي ب.