الحركة الدائرية

أصبحت حياتنا اليوم أسهل وأكثر راحة بفضل وجود المركبات ذات العجلات، والمعدات الحديثة كالمولدات الكهربائية، وآلات الطحن، والمراوح، وجزّازات العشب، ومرشات الزهور، وغيرها. لا تستطيع المركبات ذات العجلات، كالدراجات الهوائية والنارية والسيارات والطائرات، الحركة بدون عجلات أو بدون دورانها. كذلك، لا تستطيع الطائرات والمروحيات الطيران بدون دوران مراوحها. ولا تستطيع السفن الإبحار بدون دوران مولداتها أو مراوحها. وفي الليل، يُصبح المنزل مُظلمًا تمامًا، ولا توجد وسائل ترفيه إذا تعطل المولد الكهربائي أو محطة الطاقة. تتحرك العديد من الأجسام حركة دائرية يوميًا. حتى دون أن نُدرك ذلك، فإن الأرض التي نعيش عليها، والقمر الذي يُنيرنا ليلًا، والأقمار الصناعية، كأقمار الاتصالات التي تُرسل الموجات الكهرومغناطيسية للبث التلفزيوني والإذاعي والهاتفي والإنترنت، تدور باستمرار، أي تتحرك في دائرة دائمة.

يُقال إن الجسم يتحرك حركة دائرية إذا كان مساره دائريًا. تتكون الكميات الفيزيائية في الحركة الدائرية من كميات زاوية (كميات الحركة الدائرية) وكميات خطية (كميات الحركة المستقيمة). تشمل الكميات الزاوية الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والتسارع الزاوي. أما الكميات الخطية فهي الكميات الموجودة في الحركة المستقيمة، وتشمل الإزاحة (المسافة) والسرعة (المقدار) والتسارع. في المقابل، تُعرف كميات الحركة الدائرية عادةً بالكميات الزاوية . في الحركة الدائرية، ترتبط الكميات الخطية بالكميات الزاوية.

تحويل وحدات الزاوية (الدرجات، الراديان، الدورات)

1. ربع دورة = ….. ^o (درجات) ؟
مناقشة
دورة واحدة = 360^o
نصف دورة = 180^o
ربع دورة = 90^o

2. نصف دورة = …… راديان؟
مناقشة
دورة واحدة = 2 باي راديان = 2(3,14) راديان = 6,28 راديان
نصف دورة = π راديان = 3,14 راديان

3. 180^o (180 درجة) = ... دوران أو ثورة ?
مناقشة
360^o = جولة واحدة (1 ثورة)
180^o = نصف دورة (1/2 ثورة)

4. 90^o = ….. راديان؟
مناقشة
360^o = 2 باي راديان = 2(3,14) راديان = 6,28 راديان
180^o = π راديان = 3,14 راديان
90^o = ½ باي راديان = ½ (3,14) = 1,57

5. 60 راديان = ….. دوران؟
مناقشة
6,28 راديان = دورة واحدة
60 راديان / 6,28 = 9,55 دورة

6. 40 راديان = ….. ^o (درجات) ؟
مناقشة
6,28 راديان = 360^o
40 راديان / 6,28 = (6,37)(360^o) = 2292,99^o

السرعة الزاوية

مثال على المشكلات.
1. تدور العجلة في اتجاه عقارب الساعة، مما يصنع زاوية 180 درجة^o لمدة ثانيتين و90^o لمدة ثانية واحدة. حدد مقدار واتجاه متوسط ​​السرعة الزاوية!
مناقشة
كبير = 9^o/ثانية = ….. دورة/ثانية = ….. راديان/ثانية ؟
الاتجاه = اتجاه عقارب الساعة.

2. تدور العجلة في اتجاه عقارب الساعة، مما يصنع زاوية 360 درجة^o لمدة 4 ثوانٍ، ثم تدور العجلة 180 درجة^o لمدة ثانيتين عكس اتجاه عقارب الساعة. كم عدد متوسط ​​السرعة الزاوية عجلة ؟
مناقشة
كبير = 3^o/ثانية = ….. دورة/ثانية = ….. راديان/ثانية ؟
الاتجاه = اتجاه عقارب الساعة.

السرعة الزاوية اللحظية
مقدار السرعة الزاوية اللحظية = مقدار السرعة الزاوية التي تم قطعها خلال فترة زمنية قصيرة جدًا.
في الحركة المستقيمة أو الحركة الخطية، هايز يمكن تسميتها سرعة كارينا إزاحة كبيرة مساوياً في القيمة لـ جاراك إذا كان صغيرًا جدًا. في حركة دائرية، سرعة زاوية كبيرة يمكن تسميتها السرعة الزاوية كارينا إزاحة زاوية كبيرة مساوياً في القيمة لـ جاراك ركن إذا كان صغيراً جداً.

متوسط ​​التسارع الزاوي
مثال على المشكلات.
1. طاحونة هوائية تبقى ساكنة للحظة ثم تدور بفعل الرياح. بعد ثانيتين، تزداد سرعتها الزاوية إلى 90 درجة.^o/س. كم السعر؟ متوسط ​​التسارع الزاوي طاحونة هوائية؟
مناقشة
في المتوسط، سرعة زاوية كبيرة زادت طواحين الهواء بنسبة 45^o/s كل ثانية واحدة.

2. يدور المروحة في البداية بسرعة زاوية قدرها 180^o/s، وبعد ثانيتين يتوقف عن الدوران. كم عدد متوسط ​​التباطؤ الزاوي طاحونة هوائية؟
مناقشة
في المتوسط، سرعة زاوية كبيرة تم تقليص عدد طواحين الهواء بنسبة 90%^o/s كل ثانية واحدة.

التسارع الزاوي اللحظي
يُختصر التسارع الزاوي اللحظي عادةً إلى التسارع الزاوي. وهو التغير في السرعة الزاوية خلال فترة زمنية قصيرة جدًا. رياضيًا:

فترة وتواتر الحركة الدائرية
تحدد الفترة الزمنية الوقت اللازم للجسيم لإكمال دورة واحدة، بينما يحدد التردد عدد الدورات في الثانية الواحدة.
تُعبّر المعادلة التالية عن العلاقة بين الدورة والتردد:
و = 1 / T.
الوحدة الدولية للدورة هي الثانية، ووحدة النظام الدولي للتردد هي 1/ثانية أو هرتز.

السرعة والسرعة الزاوية
يمكن التعبير عن السرعة المماسية والسرعة الزاوية لجسيم يتحرك في دائرة بدلالة الفترة والتردد.
يُعبّر عن مقدار سرعة الجسيم الذي يقوم بحركة دائرية بالمعادلة التالية:
يُعبّر عن مقدار السرعة الزاوية لجسيم يتحرك في دائرة بالمعادلة التالية:
المعلومات:

مثال على المشكلات

1. وُضِعَت عجلتان A وB، تحتوي كل منهما على 20 و50 سنًا على التوالي، في تلامس بحيث يكون كل ترس مُقترنًا بالآخر. إذا دارت العجلة A خمسين دورة في ثانية واحدة، فإن السرعة الزاوية للعجلة B هي...

مناقشة

من المعروف:

عدد أسنان العجلة أ = 20

عدد أسنان العجلة B = 50

السرعة الزاوية للعجلة A ( ωA ₎ = 50 دورة/ثانية

دورة واحدة = 2π راديان

(50)(2π راديان)/ثانية = 100π راديان/ثانية

السؤال: السرعة الزاوية للعجلة B ( ωB ₎

جواب:

السرعة الخطية للعجلة A: v _A = r _A ω _A

السرعة الخطية للعجلة B: v _B = r _B ω _B

العجلتان متلامستان لذا فإن سرعتهما الخطية متساوية.

v _A = v _B

r _A ω _A = r _B ω _B

(20)( 100π راديان/ثانية) = (50)(ω _B )

(2)(100π راديان/ثانية) = (5)(ω _ب )

(2)(20π راديان/ثانية) = ω _ب

ω _B = 40π rad/s

2. سؤال الأمم المتحدة SMA/MA 2017

انظر إلى الصورة التالية.

تسير دراجة نارية على منعطف بزاوية ميل α (tan α = 2/5) بالنسبة لحافة الطريق. السرعة القصوى اللازمة لمنع انزلاق الدراجة هي 20 م/ ^ث . ما هو نصف قطر المنعطف؟

أ. 50 م

ب. 100 م

ج. 200 م

د. 250 م

هـ. 400 م

مناقشة

من المعروف أن:

السرعة القصوى (v) = 20 م/ث

ظل الزاوية α = 2/5

معامل الاحتكاك السكوني (μs ₎ = ظل الزاوية α = 2/5

السؤال: نصف قطر الانحناء (r)

الجواب:

صيغة التسارع المركزي:

المعلومات:

a _s = التسارع المركزي، v = السرعة، r = نصف قطر الانحناء

القوة الأفقية الوحيدة المؤثرة على السيارة عند انعطافها هي قوة الاحتكاك السكوني. صيغة الاحتكاك السكوني هي:

المعلومات:

f _s = قوة الاحتكاك السكوني، μ _s = معامل الاحتكاك السكوني، w = الوزن، m = الكتلة، g = تسارع الجاذبية الأرضية

قانون نيوتن الثاني للحركة الدائرية:

الإجابة الصحيحة هي ب.

3. سؤال الأمم المتحدة SMA/MA 2017

العجلات الأربع متصلة كما هو موضح أدناه!

نصف القطر R_A = 6 سم، R_B = 3 سم، R_C = 2 سم و R_D = 5 سم وتدور العجلة أ بسرعة خطية قدرها 3 م/ث^-1إذن، السرعة الزاوية للعجلة D هي...

مناقشة

من المعروف أن:

R _A = 6 سم = 0,06 م، R _B = 3 سم = 0,03 م، R _C = 2 سم = 0,02 م، R _D = 5 سم = 0,05 م.

v _A = 3 م ^/ث

السؤال: السرعة الزاوية للعجلة D ( ωD ₎

الجواب:

السرعة الزاوية للعجلة أ:

v _A = r _A ω _A

ω _A = v _A / r _A = 3 / 0,06 = 50 راد/ثانية

تدور العجلتان A و B بنفس السرعة الزاوية.

ω _A = ω _B = 50 راديان/ثانية

السرعة الزاوية للعجلة ب:

ω _B = 50 راديان/ثانية

السرعة الخطية للعجلة ب:

v _B = r _B ω _B

v _B = (0,03)(50 rad/s)

v _B = 1,5 م/ث

تتمتع العجلة B والعجلة C بنفس السرعة الخطية.

v _B = v _C = 1,5 م/ث

تتمتع العجلة C والعجلة D بنفس السرعة الخطية.

v _C = v _D = 1,5 م/ث

السرعة الزاوية للعجلة D:

ω _D = v _D / r _D = 1,5 / 0,05 = 30 راديان/ثانية