Rotasiebeweging – probleme en oplossings

Rotasiebeweging – probleme en oplossings

Wringkrag

1. 'n Balk met 'n lengte van 140 cm. Daar is drie kragte wat op die balk inwerk, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N, en F3 ₌ 40 N met rigting en posisie soos in die figuur hieronder getoon. Wat is die wringkrag wat veroorsaak dat die balk om die massamiddelpunt van die balk roteer?

Bekend:

Die massamiddelpunt is in die middel van die balk geleë.

Lengte van balk (l) = 140 cm = 1.4 meter

Krag 1 (F1 ₎ = 20 N, die hefboomarm 1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 meter

Krag 2 (F2 ₎ = 10 N, die hefboomarm 2 (l2 ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 meter

Krag 3 (F3 ₎ = 40 N, die hefboomarm 3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 meter

Gewenste: Die grootte van die wringkrag

oplossing:

Die wringkrag 1 roteer die balk kloksgewys, dus word 'n negatiewe teken aan die wringkrag 1 toegeken.

τ1 ₌ F1l1 = ( ₂₀ N)(0.7 m ₎ = -14 Nm

Die wringkrag 2 roteer die balk antikloksgewys, en gee dus 'n positiewe teken aan die wringkrag 2.

τ² ₌ F² _{l² = (10 N )} (0.3 m ) = 3 Nm

Die wringkrag 3 roteer die balk kloksgewys, dus word 'n positiewe teken aan die wringkrag 3 toegeken.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 Nm

Die netto wringkrag:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Die grootte van die wringkrag is 39 N m. Die rotasierigting van die balk kloksgewys, dus word 'n negatiewe teken toegeken.

2. Wat is die netto wringkrag wat op die balk inwerk? Die rotasie-as by punt D. (sin 53 ^o = 0.8)

Bekend:

Die rotasie-as by punt D

F ₁ = 10 N en l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 meter

F ₂ = 10√2 N en l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 meter

F ₃ = 20 N en l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 meter

Gewenste: Die netto wringkrag

oplossing:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Die wringkrag 1 roteer die balk antikloksgewys, dus ken ons 'n positiewe teken aan die wringkrag 1 toe)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Die wringkrag 2 roteer die balk kloksgewys, dus ken ons 'n negatiewe teken aan die wringkrag 2 toe)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Die wringkrag 3 roteer die balk antikloksgewys, dus ken ons 'n positiewe teken aan die wringkrag 3 toe)

Die netto wringkrag:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Wat is die netto wringkrag as die rotasie-as by punt D is. (sin 53 ^o = 0.8)

Bekend:

Die rotasie-as by punt D.

Afstand tussen F1 _en die rotasie-as (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Afstand tussen F2 _en die rotasie-as (rBD ₎ = 20 cm = 0.2 m

Afstand tussen F3 _en die rotasie-as (rCD ₎ = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newton

F2 = _10√2 Newton

F² = ₂₀ Newton

Sin 53 ^o = 0.8

Gewenste: Die netto wringkrag

oplossing:

Die moment van die krag 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Die wringkrag 1 roteer die balk antikloksgewys, dus ken ons 'n positiewe teken aan die wringkrag 1 toe)

Die moment van die krag 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Die wringkrag 2 roteer die balk kloksgewys, dus ken ons 'n negatiewe teken aan die wringkrag 2 toe)

Die moment van die krag 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Die wringkrag 2 roteer die balk antikloksgewys, dus ken ons 'n positiewe teken aan die wringkrag 3 toe)

Die netto wringkrag:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newtonmeter

Die oomblik van traagheid

4. Lengte van draad = 12 m, l1 ₌ 4 m. Ignoreer die massa van die draad. Wat is die traagheidsmoment van die stelsel?

Bekend:

Massa van A (m _A ) = 0.2 kg

Massa van B (mB ₎ = 0.6 kg

Afstand tussen A en die rotasie-as (r _A ) = 4 meter

Afstand tussen B en die rotasie-as (rB ₎ = 12 – 4 = 8 meter

Gewenste: Die traagheidsmoment van die stelsel

oplossing:

Die traagheidsmoment van A

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Die traagheidsmoment van B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Die traagheidsmoment van die stelsel:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotasiedinamika

5. 'n Krag van 6 N word toegepas op 'n koord wat om 'n katrol met massa M = 5 kg en radius R = 20 cm gedraai is. Wat is die hoekversnelling van die katrol? Die katrol is 'n uniforme soliede silinder.

Bekend:

Krag (F) = 6 Newton

Massa (M) = 5 kg

Radius (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Gesoek: Hoekversnelling (α)

oplossing:

Die moment van die krag:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 meter) = 1.2 N m

Die traagheidsmoment vir 'n soliede silinder:

Ek = 1/2 MNR ²

^{I = 1/2 (5 kg)( 0.2} m²

I = 1/2 (5 kg) (0.04 ^m² )

Ek = 1/2 (0.2)

Ek = 0.1 kg ^m².

Die hoekversnelling:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. 'n Blok met 'n massa van 4 kg hang aan 'n koord wat om 'n katrol met 'n massa van 8 kg en 'n radius R = 10 cm gedraai is. Die versnelling as gevolg van swaartekrag is 10 ms ^-2 . Wat is die lineêre versnelling van die blok? Die katrol is 'n uniforme soliede silinder.

Bekend:

Massa van katrol (m) = 8 kg

Radius van katrol (r) = 10 cm = 0.1 m

Massa van blok (m) = 4 kg

Versnelling as gevolg van swaartekrag (g) = 10 m/ ^s²

Gewig (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Gesoek: Die vryvalversnelling van die blok

oplossing:

Die traagheidsmoment van die soliede silinder:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

Die moment van die krag:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Die hoekversnelling:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Die lineêre versnelling:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. 'n Blok met 'n massa van m wat aan 'n koord hang wat om 'n katrol gedraai is. As die vryvalversnelling van die blok am/s² is ^, wat is die traagheidsmoment van die katrol?

Bekend:

gewig = w = mg

Hefboomarm = R

Die hoekversnelling = α

Die vryvalversnelling van die blok = a ms ^-2

Gewenste: Die traagheidsmoment van die katrol (I)

oplossing:

Die verband tussen die lineêre versnelling en die hoekversnelling:

a = Rα

α = a / R

Die traagheidsmoment:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Die hoekmomentum

8. 'n 0.2-gram deeltjie beweeg in 'n sirkel teen 'n konstante spoed van 10 m/s. Die radius van die sirkel is 3 cm. Wat is die hoekmomentum van die deeltjie?

Bekend:

Massa van deeltjie (m) = 0.2 gram = 2 x ^10-4 kg

Hoeksnelheid (ω) = 10 rad s ^-1

Radius (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² meter

Gewenste: Die hoekmomentum van die deeltjie

oplossing:

Die vergelyking van die hoekmomentum:

L = I ω

I = die hoekmomentum, I = die traagheidsmoment, ω = die hoeksnelheid

Die traagheidsmoment (vir deeltjies):

Ek = mnr. ² = (2 x ^10-4 )(3 x ^10-2 ) ² = (2 x ^10-4 )(9 x ^10-4 ) = 18 x ^10-8

Die hoekmomentum:

L = I ω = (18 x ^{10⁻⁶ )} (10 rad s⁻¹ ⁾ = 18 x ^10⁻⁶ kg ^m² s⁻¹

1. Wat is rotasiebeweging?
   • BeantwoordRotasiebeweging verwys na die beweging van 'n voorwerp om 'n vaste as. Dit is die soort beweging waarin elke punt van die voorwerp in 'n sirkel om die as beweeg.
2. Hoe hou lineêre snelheid verband met hoeksnelheid in rotasiebeweging?
   • BeantwoordLineêre snelheid ($v$) van 'n punt in 'n roterende voorwerp is direk eweredig aan sy afstand ($r$) vanaf die rotasie-as en die hoeksnelheid ($\omega$) van die voorwerp. Die verband word gegee deur $v=r\cdot \omega$.
3. Wat is die traagheidsmoment, en hoe hou dit verband met rotasiebeweging?
   • BeantwoordTraagheidsmoment is die rotasie-analoog van massa in lineêre beweging. Dit meet 'n voorwerp se weerstand teen veranderinge in sy rotasietoestand. Die traagheidsmoment hang af van beide die massa van 'n voorwerp en die verspreiding daarvan relatief tot die rotasie-as.
4. Hoe is Newton se eerste bewegingswet van toepassing op rotasiebeweging?
   • BeantwoordNet soos 'n voorwerp in lineêre beweging in beweging bly tensy dit deur 'n eksterne krag inwerk, sal 'n voorwerp in rotasiebeweging in daardie toestand bly tensy dit deur 'n eksterne wringkrag inwerk.
5. Wat is die betekenis van die radius van gyrasie?
   • BeantwoordDie radius van gyrasie verskaf 'n maatstaf van die verspreiding van 'n voorwerp se massa weg van sy rotasie-as. Dit beskryf in wese hoe ver van die as af al die voorwerp se massa gekonsentreer moet word om dieselfde traagheidsmoment as die oorspronklike verspreiding te hê.
6. Wat is hoekmomentum en hoe word dit behoue ​​gebly?
   • BeantwoordHoekmomentum is die rotasie-ekwivalent van lineêre momentum. Dit is die produk van 'n voorwerp se traagheidsmoment en sy hoeksnelheid. In 'n geslote stelsel bly die totale hoekmomentum konstant tensy dit deur 'n eksterne wringkrag beïnvloed word, wat die behoud van hoekmomentum beklemtoon.
7. Hoe beïnvloed wringkrag rotasiebeweging?
   • BeantwoordWringkrag is die rotasie-ekwivalent van krag. Dit veroorsaak veranderinge in die rotasiebeweging van 'n voorwerp. Die verband word gegee deur Newton se tweede wet vir rotasie: $\tau =I\cdot \alpha$, Waar $\tau$ is die wringkrag, $I$ is die traagheidsmoment, en $\alpha$ is die hoekversnelling.
8. Hoe verskil die massamiddelpunt van die rotasiemiddelpunt?
   • BeantwoordAlhoewel hulle kan saamval, is die massamiddelpunt die punt waar die hele massa van 'n voorwerp as gekonsentreerd aanvaar kan word vir die doeleindes van berekeninge in lineêre beweging, terwyl die rotasiemiddelpunt die punt (of as) is waarom 'n voorwerp roteer.
9. Wat is die rol van die sentripetale krag in rotasiebeweging?
   • BeantwoordSentripetale krag is die netto krag wat op 'n voorwerp inwerk wat in 'n sirkelvormige baan beweeg, gerig na die rotasiemiddelpunt. Dit is verantwoordelik om 'n voorwerp in sy geboë baan te hou en te verhoed dat dit in 'n reguit lyn beweeg as gevolg van traagheid.

10. Hoe hou rotasiekinetiese energie verband met traagheidsmoment en hoeksnelheid?

    • BeantwoordRotasie-kinetiese energie is die energie as gevolg van die rotasie van 'n voorwerp om 'n as. Dit word gegee deur die formule: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Waar $I$ is die traagheidsmoment en $\omega$ is die hoeksnelheid.