伯努利原理與方程式材料
當我們騎摩托車速度很快時，衣服後擺會鼓起來。如果你還不會騎摩托車，可以觀察一下你的父母或朋友騎摩托車的樣子。他們騎車速度快的時候，衣服後擺通常也會鼓起來。有時候，當風很大的時候，即使風是從屋外吹來的，門也會自動關上。
這可以用伯努利原理來解釋。丹尼爾·伯努利（1700-1782）發現了一個可以用來解釋上述一些現象的原則。
伯努利原理
伯努利原理指出，流體流速高的地方，流體壓力低；反之，流速低的地方，壓力高。當摩托車高速行駛時，你身體前方和兩側的空氣流速很高，因此氣壓較低。由於身體後方被前方的空氣阻擋，你身體後方（正後方）的空氣流速不會升高，導致你身體後方的氣壓較高。由於前後氣壓有差異，你身體後方的氣壓較高，空氣會將你的襯衫向後推，使襯衫後部看起來鼓了起來。
如果外面刮大風時，一扇門會自動關上，這是怎麼回事？外面的空氣流動速度比裡面的空氣快，因此，外面的氣壓低於裡面的氣壓。由於這種氣壓差，在氣壓較高的地方，門會被向外推。換句話說，門會從氣壓較高的地方移動到氣壓較低的地方。
伯努利方程
之前我們學習了伯努利原理。伯努利也對此原理進行了定量推導。為了推導伯努利方程，我們假設流體為穩態層流、不可壓縮，且黏度很低（可以忽略不計）。
在討論連續性方程式時，我們了解到流體流量也會隨流動管道的橫截面積而改變。基於前面解釋的伯努利原理，流體壓力也會隨流體流量而改變。流體壓力也會隨流體高度而變化。壓力、流量和流動高度之間的關係可以從伯努利方程式中得出。
伯努利方程式非常重要，因為它可用於分析飛機飛行、水力發電廠、管道系統等。為了使我們推導的伯努利方程式具有普遍適用性，我們假設流體流經橫截面積和高度均不相等的管道（見下圖）。為了推導伯努利方程，我們將動能定理應用於管道內的流體。接下來，我們將計算流體的流量以及移動流體所做的功。
圖中流動管內不透明的顏色表示有流體流動，而白色表示沒有流體流動。
橫斷面面積 1（左側）內的流體流動距離 L1 ，迫使橫斷面面積 2（右側）內的流體移動距離 L2 。由於右側橫截面積 2 較小，因此流管右側的流體流量較大（回想連續性方程式）。這導致橫截面積 2（流管右側）和橫截面積 1（流管左側）之間產生壓力差——回想一下伯努利原理。橫斷面面積 1 左側的流體對右側的流體施加壓力 P1，並做功：
那麼方程式 W 1可以寫成：
W 1 = p 1 A 1 L 1
在橫斷面 2（流動管右側），流體所做的功為：
W 2 = − p 2 A 2 L 2
負號表示所施加的力與運動方向相反。因此，流體對截面 2 右側做功。此外，重力也對流體做功。在上述情況下，一定質量的流體從截面 1 移動到截面 2，距離為 L1 ，其中截面 1 處的流體體積 (A1L1 )等於截面2處的流體體積 (A2L2 ) 。重力所做的功為：
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
負號是由於流體向上流動，方向與重力方向相反。因此，如圖所示，流體所做的總功為：
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
動能定理指出，作用於系統的總功等於其動能的變化。因此，我們可以用動能的變化（EK2 - EK1）來代替功（ W ）。
我們可以將上面的方程式改寫為：
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 - EK 1 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
在橫斷面 A1 處流過距離 L1 的流體質量等於在橫斷面A2處流過距離 L2 的流體質量。質量為m的流體的體積為 A1L1和A2L2 ，其中A1L1 = A2L2 （L2比L1長）。
現在我們代入，或者說，我們將上述方程式中的 m 替換為 m = ρ AL：
這就是伯努利方程式。我們根據動能原理推導出了伯努利方程，因此它是能量守恆定律的一種形式。
備註：
P = 壓力
ρ = 流體密度
v = 流體流速
g = 重力加速度
h = 流量管/管道離地面的高度
上述伯努利方程式的左右兩邊可以指流管上的任兩點，因此我們可以將上述方程式改寫為：
此方程式表明，方程式中各量的總和在整個流動管中具有相同的值。
現在讓我們回顧一下伯努利方程式的一些應用。
靜止流體的伯努利方程
伯努利方程式的一個特例是靜止流體（靜流體）。當流體處於靜止狀態時，其速度為零。因此，v₁ = v₂ = 0。對於靜止流體，伯努利方程式可以表示為：
如果 h₂ - h₁ = h，則方程式可以寫成：
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
伯努利方程式適用於相同高度的流動管或管道
如果流動管或管道的高度相同，則伯努利方程式變為：
