伯努利原理與方程

伯努利原理與方程式材料

K當我們騎摩托車速度很快時，衣服後擺會鼓起來。如果你還不會騎摩托車，可以觀察一下你的父母或朋友騎摩托車的樣子。他們騎車速度快的時候，衣服後擺通常也會鼓起來。有時候，當風很大的時候，即使風是從屋外吹來的，門也會自動關上。

這可以用伯努利原理來解釋。丹尼爾·伯努利（1700-1782）發現了一個可以用來解釋這個現象的原則。 以上部分內容.

伯努利原理

伯努利原理指出，流體流速高的地方，流體壓力低；反之，流速低的地方，壓力高。當摩托車高速行駛時，你身體前方和兩側的空氣流速很高，因此氣壓較低。由於身體後方被前方的空氣阻擋，你身體後方（正後方）的空氣流速不會升高，導致你身體後方的氣壓較高。由於前後氣壓有差異，你身體後方的氣壓較高，空氣會將你的襯衫向後推，使襯衫後部看起來鼓了起來。

如果外面刮大風時，一扇門會自動關上，這是怎麼回事？外面的空氣流動速度比裡面的空氣快，因此，外面的氣壓低於裡面的氣壓。由於這種氣壓差，在氣壓較高的地方，門會被向外推。換句話說，門會從氣壓較高的地方移動到氣壓較低的地方。

伯努利方程

之前我們學習了伯努利原理。伯努利也對此原理進行了定量推導。為了推導伯努利方程，我們假設流體為穩態層流、不可壓縮，且黏度很低（可以忽略不計）。

在討論連續性方程式時，我們了解到流體流量也會隨流動管道的橫截面積而改變。基於前面解釋的伯努利原理，流體壓力也會隨流體流量而改變。流體壓力也會隨流體高度而變化。壓力、流量和流動高度之間的關係可以從伯努利方程式中得出。

伯努利方程式非常重要，因為它可用於分析飛機飛行、水力發電廠、管道系統等。為了使我們推導的伯努利方程式具有普遍適用性，我們假設流體流經橫截面積和高度均不相等的管道（見下圖）。為了推導伯努利方程，我們將動能定理應用於管道內的流體。接下來，我們將計算流體的流量以及移動流體所做的功。

圖中流動管內不透明的顏色表示有流體流動，而白色表示沒有流體流動。

橫截面積為 1（左側）的流體流動距離為 L。₁ 並迫使橫截面 2（右側）處的流體移動距離 L。₂由於右側橫截面積 2 較小，流管右側的流體流量較大（回想連續性方程式）。這導致橫截面 2（流管右側）和橫截面 1（流管左側）之間產生壓力差——回想一下伯努利原理。橫截面 1 左側的流體施加壓力 P。₁ 右側流體做功：

然後方程式 W₁ 可以寫成：

W₁ =p₁ A₁ L₁

在橫斷面 2（流動管右側），流體所做的功為：

W₂ = − p₂ A₂ L₂

負號表示所施加的力與運動方向相反。因此，流體對截面 2 右側做功。此外，重力也對流體做功。在上述情況下，一定質量的流體從截面 1 位移了距離 L。₁ 穿過截面 2 至 L₂其中，橫截面 1 處的流體體積為 A₁ L₁) = 橫截面 2 處的流體體積 (A₂ L₂重力所做的功為：

W₃ = − mg (h₂ - h₁)

W₃ = − mgh₂ + mgh₁)

W₃ = mgh₁ - mgh₂

負號是由於流體向上流動，方向與重力方向相反。因此，如圖所示，流體所做的總功為：

W = W₁ + W₂ + W₃

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

動能定理指出，作用於系統的總功等於其動能的變化。因此，我們可以用動能的變化（EK）來取代功（W）。₂ - EK₁).

我們可以將上面的方程式改寫為：

W = P₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ - EK₁ = P.₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1⁄2毫伏₂² – 1⁄2 毫伏₁² = P.₁ A₁ L₁ - P₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

流過距離 L 的流體質量₁ 在橫斷面 A 上₁ = 流過距離 L 的流體質量₂ （橫截面 A）₂）一定質量的流體，假設為m，其體積為A。₁L₁ 和 A₂ L₂ 其中 A₁ L₁ = A.₂ L₂ (L₂ 比 L 長₁).

現在我們代入，或者說，我們將上述方程式中的 m 替換為 m = ρ AL：

這就是伯努利方程式。我們根據動能原理推導出了伯努利方程，因此它是能量守恆定律的一種形式。

備註：

P = 壓力

ρ = 流體密度

v = 流體流速

g = 重力加速度

h = 流量管/管道離地面的高度

上述伯努利方程式的左右兩邊可以指流管上的任兩點，因此我們可以將上述方程式改寫為：

此方程式表明，方程式中各量的總和在整個流動管中具有相同的值。

現在讓我們回顧一下伯努利方程式的一些應用。

靜止流體的伯努利方程

伯努利方程式的一個特例是針對靜止流體（靜流體）。當流體處於靜止狀態時，它沒有速度。因此，v₁ = v₂ = 0。對於靜止流體，我們可以將伯努利方程式表述為：

如果 h₂ - h₁ 如果 h = ，則方程式可以寫成：

p₁ - p₂ = ρ g (h₂ - h₁)

p₁ - p₂ = ρgh

伯努利方程式適用於相同高度的流動管或管道

如果流動管或管道的高度相同，則伯努利方程式變為：