應用伯努利原理與方程

應用伯努利原理與方程

托里切利定理

伯努利方程式的一個用途是計算液體從容器底部流出的速度。

我們將伯努利方程式應用於點 1（容器表面）和點 2（孔的表面）。由於容器底部孔的直徑遠小於容器的直徑，因此假設容器表面液體的速度為零 (v₁ ₌ 0)。容器表面和孔表面是開放的，因此壓力等於大氣壓力 (P₁ ₌ P₂ ₎。因此，這種情況下的伯努利方程式為：

如果我們想計算容器底部小孔中液體的流速，則公式變為：

根據這個方程，容器表面距離 h 處的孔的流速等於距離 h 處自由落體的流速（參見自由落體運動）。這就是著名的托里切利定理。這個定理由伽利略的學生托里切利發現，比伯努利發現他的方程式早了一個世紀。

文丘里效應 

除了托里切利定理之外，伯努利方程式還可以應用於其他特殊情況，即流體在高度幾乎相同的管道段中流動（高度差很小）。為了理解… 筆j因此，請看圖。 

在上圖中，管道橫截面較大的部分和橫截面較小的部分的高度似乎幾乎相同，因此它們被視為高度相同。在這種情況下，伯努利方程式變為：

當流體流經一段橫斷面較小的管道時（A₂那麼流體速度就會增加。根據伯努利原理，如果流體速度增加，流體壓力就會降低。管路狹窄部分的流體壓力較小，但流體流量較大。

這就是所謂的文丘里效應，它定量地表明，如果流體流速高，流體壓力就會低；反之，如果流體流速低，流體壓力就會高。

文丘里流量計

文丘里效應的一個有趣應用是文丘里流量計。這種儀器用於測量流體流量，例如計算水或油在管道中的流速。文丘里流量計有兩種：一種沒有壓力計，另一種則使用裝有其他流體（例如水銀）的壓力計。它們的工作原理相同。

無壓力表的文丘里管

下圖所示為用於測量管道中液體流量的文丘里流量計。

當液體流經截面較小的管路段（A₂ _）時，液體流速增大。根據伯努利原理，液體流速增大，液體壓力減少。因此，大截面處的液體壓力大於小截面處的液體壓力（P₁ _> P₂ _）。反之，_v₂ > _v₁

所求的是大截面處的液體流速 (v1 ₎。我們將公式 1 中的_v2替換為公式 2 中的_v2。

要計算某一深度的流體壓力，請使用下列公式：

p = ρgh → 方程式 a

如果流體密度差異很小，則可以使用此方程式來確定不同高度的壓力差。因此，方程式 a 可以改寫為：

Δp = ρgΔh

對於上述情況，該等式可以改為：

p ₁ − p ₂ = ρ gh → 方程式 b

現在我們將等式 3 中的p ₁ - p ₂替換為等式 b 中的p ₁ - p _{2 ：}

由於液體性質相同，密度也必然相同。從方程式中消去ρ。

皮託管

如果使用文丘里流量計測量液體的流量，則使用皮託管測量氣體或空氣的流量。 1 號點的孔與氣流方向平行。這兩個孔的位置距離……相當遠。 皮託管末端，使得孔外空氣的速度和壓力與自由流動空氣的速度和壓力相同。在這種情況下，v₁ = 自由流動空氣流量（這是我們要測量的）和壓力計左臂（左側管道）上的壓力 = 自由流動空氣壓力（P）。₁).

通往壓力計右側支架的孔與氣流方向垂直。因此，流經此孔（中間部分）的氣流速度逐漸減小，並在到達點 2 時停止。此時，v₂ ₌ 0。壓力計右側支架處的壓力等於點 2 處的氣壓 (P₂ ₎。點 1 和點 2 的高度幾乎相同（差異不大），因此可以忽略不計。

壓力差 (P2 _- P1 ₎ = 壓力計中液體的靜水壓力（壓力計中黑色部分為液體，即水銀）。數學表達式如下：

p ₂ − p ₁ = ρ ' gh → 方程式 2

ρ' = 壓力計中液體的密度

觀察等式 1 和等式 2。等式左側等於 (P₂ _- P₁ ₎。因此，等式 1 和等式 2 可以改寫成如下形式：

香水噴霧器

這是總體概述，但每個工廠的設計都不同。

一般來說，香水噴霧器的工作原理可以描述如下（請參考圖片）：當擠壓橡膠球時，橡膠球內的空氣會通過管道1噴出，因此管道1內的空氣流速較高。由於空氣流速高，管道1內的氣壓較低。相反，管道2內的空氣流速較低，氣壓較高。因此，香水液體被向上推。當香水液體到達管道1時，從橡膠球內噴出的空氣會將其推出…最終，香水液體噴出，潤濕身體…

通常孔都很小，所以香水很快就會流出來。

用滴管或虹吸管喝水

你有沒有用滴管喝過冰茶或糖漿？當我們用滴管吸水時，實際上是加快了滴管內空氣的流動速度。在這種情況下，滴管靠近我們嘴邊的那部分空氣速度更快，導致其氣壓降低。而靠近飲料那部分空氣的流動速度較慢，因此氣壓較高。正是這種氣壓差使得我們喝的水或飲料能夠流入口中。液體從氣壓較高的部分流向氣壓較低的部分。

煙囪

你看過煙囪嗎？如果你住在泗水、三寶壟、雅加達等城市，你可能看過工廠的煙囪。為什麼煙會從煙囪冒出來呢？首先，燃燒產生的煙溫度很高。由於溫度高，空氣密度低。密度低的空氣容易漂浮，也就是上升。但這並非唯一的原因……伯努利原理也發揮了作用。

其次，伯努利原理指出，如果空氣流量大，壓力就低；反之，如果空氣流量小，壓力就高。煙囪頂部位於室外，有風吹過，因此周圍的氣壓較低。在封閉的房間內，沒有風吹，所以氣壓較高。因此，煙霧會經由煙囪排出。空氣總是從高氣壓區域流向低氣壓區域。

老鼠也懂得伯努利原理。

請看下圖。這是地上老鼠洞的圖片。老鼠也懂得伯努利原理。

老鼠不想窒息而死，於是挖了兩個高度不同的洞。由於地面高度不同，兩個洞裡的空氣相互擠壓。這類似於水從橫截面積較大的管道流向橫截面積較小的管道。由於擠壓作用，空氣流速增加，氣壓降低。

由於氣壓差，空氣被迫流過鼠洞。空氣從高氣壓區域流向低氣壓區域。

飛機升力

飛機能夠飛行的關鍵因素之一是機翼的存在。飛機機翼呈弧形，前緣比後緣厚。這種機翼形狀稱為翼型。這種設計借鑒了鳥類的翅膀，鳥類的翅膀也具有類似的形狀（弧形且前緣較厚）。不同之處在於，鳥類的翅膀可以拍動，而飛機的機翼則不能。鳥類之所以能夠飛行，是因為它們拍動翅膀，使氣流流過機翼兩側。為了讓氣流流過飛機機翼兩側，飛機必須向前移動。人類使用發動機來驅動飛機。

機翼前緣設計成向上彎曲。下方的氣流與上方的氣流相互碰撞，就像水從橫截面較大的管道流向橫截面較小的管道一樣。結果，機翼上方的氣流速度增加。由於氣流速度增加，氣壓降低。相反，由於下方空氣較為稀疏（氣壓較高），氣流速度較低。這種壓力差使飛機機翼向上移動。

伯努利原理只是飛機產生升力的因素之一。另一個因素是動量。通常，飛機機翼會略微向上傾斜。撞擊機翼下表面的空氣會向下偏轉。由於飛機有兩個機翼，分別位於左側和右側，偏轉的空氣會互相碰撞。碰撞空氣分子動量的變化會產生額外的升力。

由於機翼向下彎曲至尾部，空氣受到機翼的拉力向下流動。根據牛頓第三定律，每一個作用力都有一個反作用力。因為機翼向下迫使空氣流動，所以空氣必然會向上推機翼。在這種情況下，空氣對機翼產生升力。因此，伯努利原理並非飛機產生升力的唯一因素。

漁民也了解伯努利原理。

你坐過帆船嗎？漁民也深諳伯努利原理😉