連續性方程式材料
試著慢慢打開水龍頭，同時觀察水流。水龍頭停止轉動後，用手部分堵住水龍頭。現在比較一下，部分堵住水龍頭和不堵住水龍頭時，哪種情況下水流較大？如果你有一根平常用來澆花的軟管，讓水流過它。用手或手指部分堵住軟管。堵住的軟管部分越多，水流速度就越快。相反，如果軟管沒有被堵住，水流速度就會變慢。這是為什麼呢？要理解這一點，請學習連續性方程式。
流線和流管
首先，我們來了解一下流線和流管的概念。這個概念很重要，因為它有助於理解連續性方程式。
流線型
請看下圖，藍線是流線。
在穩定流動中，流體中某一點（例如A點）的每個質點的速度保持不變。當流體經過B點時，其速度可能會改變。然而，到達B點後，後面的流體質點仍然以與前面的流體質點相同的速度流動。到達C點時也是如此，以此類推。流線是連接A、B和C三點的曲線。
流管
本質上，我們可以繪製流體流動中每一點的流線。若考慮穩態流體流動，若干條流線以一定角度穿過假想的表面積（假想表面面積）即可形成一個流動管。流體質點之間互不相交，始終平行，因此流動管類似於一個形狀始終不變的管道。流體從管道一端進入，最終從另一端流出。
借方
流量是指在一定時間間隔內流過特定橫截面的流體體積。用數學公式表示如下：
為了幫助你更好地理解，我們舉個例子。假設流體在管路中流動。管道通常是圓柱形的，具有特定的橫截面積。管道也有一定的長度。
當流體在管路中流動至長度 L 時，管路中流體的體積為 V = AL（V 為流體體積，A 為橫截面積，L 為管路長度）。由於流體在管道中沿長度 L 流動期間需要一定的時間間隔，因此我們可以說流體的流量大小為：
因為 v = s/t = L/t —> L = vt，所以上面的等式變成：
因此，當流體在一定時間間隔內流經具有一定橫截面積和長度的管道時，流體流量 (Q) 的大小等於橫截面積 (A) 乘以流體流速 (v)。
連續性方程
考慮如下圖所示的不同直徑管道中的流體流動。
這張圖顯示了流體從左到右的流動方向（流體從大直徑管道流向小直徑管道）。虛線是流線。
圖說：A1 = 大直徑管道截面的橫截面積，A2 =小直徑管道截面的橫截面積，v1 =大直徑管道截面中的流體流速，v2 =小直徑管道截面中的流體流速，L = 流體流過的距離。
在流體動力學導論中，我們解釋了流體動力學研究的是不可壓縮、無黏滯性、非湍流且穩定的流體的流動。在穩定流動中，流體質點在某一點的速度與經過該點的其他流體質點的速度相同。流體流動也不會互相交叉（流線平行）。因此，從管道一端進入的流體質量必須等於從另一端流出的流體質量。如果一定質量的流體進入直徑較大的管道，那麼流出直徑較小的管道的流體質量將保持不變。
現在，請看上面的管道圖片。請分別觀察管道直徑較大的部分和直徑較小的部分。
在一定的時間間隔內，一定量的流體流經一段直徑較大的管道（A）。1）至 L1 (L1 = v1 t）。流體的體積為 V1 = A.1 L1 = A.1 v1 t. 在同一時間間隔內，另一部分流體流經直徑較小的管路段 (A)。2）至 L2 (L2 = v2 t）。流體的體積為 V2 = A.2 L2 = A.2 v2 t.
不可壓縮流體的連續性方程式（不可壓縮)
首先，我們考慮不可壓縮流體的情況。在不可壓縮流體中，流體的密度（或質量）在其流經的每一點都保持不變。在一定時間間隔內，橫截面積為 A1 （管道大直徑）的管道中流動的流體的質量為：
同樣地，在一定時間間隔內，橫截面積為 A 2（小管徑）的管道中流動的流體質量為：
考慮到在穩定流動中，流入流體的質量與流出流體的質量相等，那麼：
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t（流體密度和時間間隔相同，因此它們相互抵消）
A1v1 = A2v2
因此，對於不可壓縮流體，連續性方程式適用：
A₁v₁ = A₂v₂ —公式1
備註：
A₁ = 橫截面積 1，A₂ = 橫截面積 2，v₁ = 橫截面 1 處的流體流速，v₂ =橫截面 2 處的流體流速，Av = 體積流量 V/t ，也稱為流量
公式 1 表明，沿著管道或流道各點的體積流量（也稱為流量）始終相同。管路橫截面積減小時，流體流量增大；反之，管路橫截面積增大時，流體流量減少。
當我們半堵住水龍頭時，水流速度會比水龍頭半開時更快。這是因為水龍頭半開時，其橫截面積減小，從而增加了水流速度（流體流動速度加快）。軟管的情況也是如此。然而，需要注意的是，無論水龍頭是否半開，沿著水流方向各點的流量或體積流量都保持不變。因此，改變的是流體的流速。
那麼，河流中的水流情況如何呢？河流中較深的河段橫斷面積比淺的河段大，因此深水區的水流速度比淺水區慢。如果你看到河水非常平靜，那就表示這條河很深。但如果河水突然變得湍急，那一段一定很淺。然而，無論是在河流的深水區還是平靜的河段，水的流量始終保持不變。
可壓縮流體的連續性方程式（可壓縮的)
對於可壓縮流體，其密度並非始終保持不變。換句話說，流體的密度會隨著壓縮而改變。而對於不可壓縮流體，流體密度會從方程式中消去；但對於可壓縮流體，流體密度仍包含在方程式中。參考先前推導的方程，我們來推導可壓縮流體的方程。
考慮到在穩定流動中，流入流體的質量與流出流體的質量相等，那麼：
m1 = m2
ρA1v1t = ρA2v2t
流體流動的時間間隔相同，因此可以消除。方程式變為：
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → 方程式 2
這是可壓縮流體的方程式。唯一的差別在於流體的密度。當流體被壓縮時，其密度會改變。相反，當流體不可壓縮時，其密度保持不變，因此可以抵消掉。
例題1：
水以 2 公尺/秒的速度流過直徑 10 公分的管道。求水的流量。
彭巴哈桑
已知：
管道直徑 = 10 公分（這是管道的內徑）
管道半徑 (r) = 5 公分 = 0,05 米
水的v = 2 公尺/秒
Q：金融卡
回答 ：
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 公尺/秒)
Q = (3,14)(0,05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m 2 )(2 m/s)
Q = 0,0157 立方公尺/秒
例題2：
一根直徑 20 公分的水管與另一根直徑 10 公分的水管相連。如果直徑為 20 公分的水管中的水流速度為 4 公尺/秒，則直徑為 10 公分的水管中的水流速度是多少？
彭巴哈桑
已知：
直徑 1 = 20 公分（半徑1 = 10 公分 = 0,1 公尺）
v1 = 4 公尺/秒
直徑 2 = 10 公分（r 2 = 5 公分 = 0,05 公尺）
問：v 1
回答 ：
Q1 = Q2
A1v1 = A2v2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
（0,1 公尺）2（4 公尺/秒）=（0,05 公尺）2（v2）
（0,01 m 2）（4 m/s）= （0,0025 m 2）（v 2）
（0,04 m³ / s）=（0,0025 m² ）（v²）
v2 = 16 公尺/秒
