旋轉運動——問題與解答—

旋轉運動－問題與解答

轉矩

1. 一根長140公分的梁。樑上受到三個力的作用，分別為F₁ ₌ 20牛頓、F₂ ₌ 10牛頓和F₃ ₌ 40牛頓，其方向和位置如下圖所示。求使梁繞其質心旋轉的力矩。

已知：旋轉運動－問題與解答 1

質心位於樑的中心。

梁長 (l) = 140 公分 = 1.4 米

力1 (F1 ₎ = 20 N，力臂1 (l1 ₎ = 70 cm = 0.7 米

力2 (F₂ ₎ = 10 N，力臂2 (l₂ ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 米

力3 (F3 ₎ = 40 N，力臂3 (l3 ₎ = 70 cm = 0.7 米

求：扭力的大小

解決方案：

扭矩 1 使梁順時針旋轉，因此扭矩 1 被賦予負號。

τ₁ ₌ F₁l₁ = ( ₂₀ N)(0.7 m) = -14 N _· m

扭矩 2 使梁逆時針旋轉，因此扭矩 2 的符號為正。

τ₂ ₌ F₂l₂ = ( ₁₀ N)(0.3 m) = 3 N · _m

扭力 3 使梁順時針旋轉，因此扭力 3 被賦予正號。

τ₃ ₌ F₃l₃ = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 N·m

淨扭矩：

Στ = -14 牛頓米 + 3 牛頓米 – 28 牛頓米 = – 42 牛頓米 + 3 牛頓米 = -39 牛頓米

扭力的大小為 39 N·m。樑的旋轉方向為順時針，因此賦予負號。

2. 作用在樑上的合力矩是多少？旋轉軸位於 D 點。（sin 53 ^° = 0.8）

已知：

D點的旋轉軸旋轉運動－問題與解答 2

F ₁ = 10 N 且 l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 米

F ₂ = 10√2 N 且 l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 米

F ₃ = 20 N 且 l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 米

需求：淨扭矩

解決方案：

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

（扭矩 1 使梁逆時針旋轉，因此我們將扭矩 1 的符號設為正）

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

（扭矩 2 使梁順時針旋轉，因此我們將扭矩 2 的符號設為負號）

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

（扭矩 3 使梁逆時針旋轉，因此我們將扭矩 3 的符號設為正）

淨扭矩：

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 牛頓米

3. 若旋轉軸位於 D 點，則合力矩為多少？（sin 53 ^° = 0.8）

已知：

D點處的旋轉軸。旋轉運動－問題與解答 3

_F1與旋轉軸之間的距離( _rAD ) = 40 公分 = 0.4 米

_F2與旋轉軸之間的距離( _rBD ) = 20 公分 = 0.2 米

_F3與旋轉軸之間的距離( _rCD ) = 10 公分 = 0.1 米

F1 = 10_牛頓

F2 = 10√2_牛頓

F3 = 20_牛頓

sin 53 ^° = 0.8

需求：淨扭矩

解決方案：

力矩1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

（扭矩 1 使梁逆時針旋轉，因此我們將扭矩 1 的符號設為正）

力矩 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

（扭矩 2 使梁順時針旋轉，因此我們將扭矩 2 的符號設為負號）

力矩 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

（扭矩 2 使梁逆時針旋轉，因此我們將扭矩 3 的符號設為正）

淨扭矩：

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 牛頓米

轉動慣量

4. 導線長度為 12 米，l₁ ₌ 4 米。忽略導線的質量。求此系統的轉動慣量。

已知：旋轉運動－問題與解答 4

A 的質量(m _A ) = 0.2 kg

B 的質量 (m _B ) = 0.6 kg

A點到旋轉軸的距離（r _A）= 4米

B點到旋轉軸的距離（r _B）= 12 – 4 = 8 米

求：系統的轉動慣量

解決方案：

A 的轉動慣量

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

B的轉動慣量

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

系統的轉動慣量：

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 公斤·米²

旋轉動力學

5. 一條繩子纏繞在一個質量為 M = 5 kg、半徑為 R = 20 cm 的滑輪上，施加一個 6 N 的力。滑輪是一個均勻的實心圓柱體。求滑輪的角加速度。

已知：

力 (F) = 6 牛頓

質量 (M) = 5 kg

半徑 (R) = 20 公分 = 20/100 米 = 0.2 米

求：角加速度（α）

解決方案：

力矩：

τ = FR = (6 牛頓)(0.2 公尺) = 1.2 牛頓米

實心圓柱體的轉動慣量：

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m ² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m ²。

角加速度：

τ = 我 α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad·s ^-2

6. 質量為 4 kg 的物塊懸掛在一條繞著質量為 8 kg、半徑 R = 10 cm 的滑輪的繩子上。重力加速度為 10 m/ ^s²。求物塊的線加速度。滑輪為均勻實心圓柱體。

已知：

滑輪質量 (m) = 8 kg

滑輪半徑 (r) = 10 公分 = 0.1 米

物塊質量 (m) = 4 kg

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

重量 (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 牛頓

求：木塊的自由落體加速度

解決方案：

實心圓柱體的轉動慣量：

I = 1/2 MR² ⁼ 1/2 (8 kg)(0.1 m) ^² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

力矩：

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

角加速度：

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

線性加速度：

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. 質量為m的物塊懸掛在纏繞於滑輪上的繩子上。若物塊的自由落體加速度為am/ ^s²，那麼滑輪的轉動慣量為何？

已知：

重量 = w = mg 旋轉運動－問題與解答 6

槓桿臂 = R

角加速度 = α

物體的自由落體加速度 = a m/ ^s²

求：滑輪的轉動慣量（I）

解決方案：

線加速度與角加速度的關係：

a = R α

α=a/R

轉動慣量：

τ = 我 α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

角動量

8. 質量為 0.2 克的粒子以 10 公尺/秒的恆定速率做圓週運動。圓的半徑為 3 公分。該粒子的角動量是多少？

已知：

粒子質量 (m) = 0.2 克 = 2 × ^10⁻⁴公斤

角速度 (ω) = 10 rad s ^-1

半徑 (r) = 3 公分 = 3 × ^10⁻²米

求：粒子的角動量

解決方案：

角動量方程式：

L = I ω

I = 角動量，I = 轉動慣量，ω = 角速度

轉動慣量（對於質點而言）：

I = mr² ⁼ (2 × 10⁻⁴ ⁾ (3 × ^10⁻² ) ^² = (2 × ^10⁻⁴ )(9 × ^10⁻⁴ ) = 18 × ^10⁻⁸

角動量：

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

什麼是旋轉運動？
- 回答旋轉運動是指物體繞固定軸的運動。在這種運動中，物體上的每個點都繞著該軸做圓週運動。
在旋轉運動中，線速度與角速度有何關係？
- 回答：線速度（ $v$ 旋轉物體中一點的 ) 與其距離成正比 ( $r$ ）從旋轉軸和角速度（ $ω$ 對象。此關係由下式給出： $v = r \cdot ω$ .
什麼是轉動慣量？它與旋轉運動有何關係？
- 回答轉動慣量是物體在旋轉運動中與線性運動中質量相對應的概念。它衡量物體抵抗旋轉狀態改變的能力。轉動慣量取決於物體的質量及其相對於旋轉軸的分佈。
牛頓第一運動定律如何適用於旋轉運動？
- 回答就像直線運動的物體除非受到外力作用，否則會保持運動狀態一樣，旋轉運動的物體除非受到外力矩作用，否則會保持旋轉狀態。
迴轉半徑的意義是什麼？
- 回答迴轉半徑衡量的是物體質量遠離其旋轉軸的分佈。它本質上描述了物體的所有質量需要集中在距離旋轉軸多遠的地方，才能保持與原始分佈相同的轉動慣量。
什麼是角動量？它是如何守恆的？
- 回答角動量是線動量的旋轉等效物，它是物體轉動慣量與其角速度的乘積。在封閉系統中，總角動量保持不變，除非受到外部力矩的作用，這反映了角動量守恆。
扭矩如何影響旋轉運動？
- 回答扭矩是力的旋轉等效物。它會引起物體旋轉運動的變化。牛頓第二定律（旋轉定律）給出了扭矩與物體旋轉運動的關係： $τ = I \cdot α$ ，其中 $τ$ 是扭矩， $I$ 是轉動慣量，而且 $α$ 是角加速度。
質心與旋轉中心有何不同？
- 回答雖然它們可以重合，但質心是指在進行線性運動計算時，可以假定物體的全部質量集中於一點；而旋轉中心是指物體繞其旋轉的點（或軸）。
向心力在旋轉運動中扮演什麼角色？
- 回答向心力是作用於沿圓週運動的物體上的合力，方向指向旋轉中心。它使物體保持其曲線運動軌跡，並防止物體因慣性而沿直線運動。
旋轉動能與轉動慣量和角速度有何關係？
- 回答轉動動能是指物體繞軸旋轉所具有的能量。其計算公式為： $K E_{ro t a t i o na l} = 1/2 I ω^{2}$ ，其中 $I$ 是轉動慣量， $ω$ 是角速度。