牛頓第二定律關於旋轉運動

一篇關於牛頓第二定律（旋轉運動）的文章

4.1 力矩、轉動慣量和角加速度之間的關係

如果質量為 m 的物體受到合力 (ΣF) 的作用，則該物體將以一定的加速度 (a) 做直線運動。合力、質量和加速度之間的關係可以用以下公式表示：

Σ F = ma

這是牛頓第二定律的方程式。

與直線運動中的合力 (ΣF) 相對應的旋轉運動量是合力矩 (Στ)。與直線運動中的質量 (m) 相對應的旋轉運動量是轉動慣量 (I)。與直線運動中的加速度 (a) 相對應的旋轉運動量是角加速度 (α)。

如果一個具有一定轉動慣量 (I) 的物體受到合力矩 (Στ) 的作用，則該物體將以一定的角加速度 (α) 旋轉。合力矩、轉動慣量和角加速度之間的關係可以用以下公式表示：

Στ = I α

這個方程式是牛頓第二定律的旋轉類比。

4.2 牛頓第二定律關於轉動的例子

例題1.

質量為 1 kg、半徑 10 cm 的實心滑輪，邊緣纏繞著一條繩子，繩子的一端懸掛著 1 kg 的重物。假設繩子的質量忽略不計。求重物自由下落時的加速度大小。 （g = 10 m/s²）²)

解決方案：

已知：

F = w = mg = (1 kg)(10 m/s² ⁾ = 10 N

r = 0.1 米

需求：加速負載

解決方案：

首先，計算轉動慣量和力矩。

實心滑輪的轉動慣量：

I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.1 m) ²

I = (0.5 kg)(0.01 m ² ) = 0.005 kg m ²

力矩：

τ = F l = (10 N)(0.1 m) = 1 N m

角加速度：

負載加速度：

a = r α = (0.1)(200) = 20 m/s ²

例題2.

質量為 2M、半徑為 R 的實心滑輪，邊緣纏繞著一條繩子，繩子的一端懸掛著質量為 m 的重物。移除重物時，滑輪以角加速度旋轉。若將滑輪連接到質量為 M 的物體上，使得滑輪以相同的角加速度旋轉，求重物的質量。 （滑輪的慣性矩 = 1⁄2 ^MR²）

解決方案：

已知：

實心滑輪的品質：2M

實心滑輪的半徑：R

負載質量：m

需求量：負載質量

解決方案：

計算實心滑輪在連接質量為 M 的物體前後的轉動慣量：

轉動慣量 1：I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M)(R) ² = MR ²

轉動慣量 2：I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M + M)(R) ² = 1⁄2 (3M)(R) ² = 1.5 MR ²

負載作用在滑輪上的力矩：

τ = F l = (m)(g)(R)

滑輪的角加速度在連接質量為 M 的物體前後保持不變。

負載質量 = 原負載質量的 1.5 倍。