重心

1. 定義 重心

剛體由許多粒子組成；因此，引力作用於每個粒子。換句話說，每個粒子都有其重量。物體的重心是物體上一個點，物體所有部分的重量都集中在該點上。

如果物體是均質的（物體的每個部分的密度相同，或物體由相似的材料組成），而物體的形狀是對稱的（例如正方形、長方形、圓形），

那麼，物體的重量就集中在物體的質心，質心位於物體的中心。對於三角形，質心位於 1/3 h 處（h 為三角形的高）。

2. 重心方程

如果物體的形狀對稱且物體是均質的，那麼物體的重心就與物體的質心重合。

其中，重心和質心位於物體的中心。反之，如果物體是均勻的但不對稱，則可以使用以下公式確定物體重量的位置。

物體重量在 x 軸上的座標：

物體重量在y軸上的座標：

x = 物體在 x 軸上的中點，y = 物體在 y 軸上的中點，A = 面積。如果物體是三維的，除了確定物體重量在 x 軸和 y 軸上的座標外，還需要確定物體重量在 z 軸上的座標。此時，面積 (A) 將被體積 (V) 取代。

例題1.

確定圖中所示均勻物體的重心座標！

解決方案：

將物體分成三部分。

A ₁ = (10-0)(10-0) = (10)(10) = 100

A₂ = (20-10)(30-0) = (10)(30) = 300

A ₃ = (30-20)(10-0) = (10)(10) = 100

x² = 1/1 (10-0) = 1/2 (10) = ₅

x ₂ = 1⁄2 (20-10) + 10 = 1⁄2 (10) + 10 = 5 + 10 = 15

x ₃ = 1⁄2 (30-20) + 20 = 1⁄2 (10) + 20 = 5 + 20 = 25

y ₁ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

y ₂ = 1⁄2 (30-0) = 1⁄2 (30) = 15

y ₃ = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5

物體重量在 x 軸上的座標：

物體重量在y軸上的座標：

物體重量的座標為（15；11）

例題2.

確定圖中物體重量的座標！

解決方案：

將物體分成兩部分，區域 1 = 正方形，區域 2 = 三角形。

A ₁ = (5-1)(3-0) = (4)(3) = 12

A ₂ = 1⁄2 (6-0)(9-3) = 1⁄2 (6)(6) = (3)(6) = 18

x ₁ = 1⁄2 (5-1) + 1 = 1⁄2 (4) + 1 = 2 + 1 = 3

x² = 1/2 (6-0) = 1/2 (6) = ₃

y ₁ = 1⁄2 (3-0) = 1⁄2 (3) = 1.5

y ₂ = 1/3(9-3) + 3 = 1/3(6) + 3 = 2 + 3 = 5

物體重量在 x 軸上的座標：

物體重量在y軸上的座標：

物體重量的座標為（3；3.6）