慣性矩

1. 粒子的轉動慣量

考慮一個旋轉粒子。質量為 m 的粒子受到力 F 的作用，繞軸 O 旋轉。粒子與旋轉軸的距離為 r。初始狀態下，粒子靜止（v = 0）。在力 F 的作用下，粒子以一定的速度運動，因此粒子具有切向加速度。力 (F)、質量 (m) 和粒子切向加速度之間的關係以公式 3 表示：

F = ma _tan（公式 3）

粒子旋轉，因此粒子具有角加速度。切向加速度和角加速度的關係以公式 4 表示：

tan = r α _（公式 4）

將方程式 3 中的 a 替換為方程式 4 中的 a：

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (公式 5)

其中，rF 為力矩，mr²^為粒子的轉動慣量。公式 5 描述了旋轉粒子的力矩、轉動慣量和角加速度之間的關係。式 5 是旋轉粒子的牛頓第二定律方程式。

粒子的轉動慣量是粒子的質量（m）與粒子到旋轉軸的距離的平方（r² ^）的乘積。

I = mr ²（公式 6）

I = 粒子的轉動慣量，m = 粒子的質量，r = 粒子到旋轉軸的距離。公式 6 用來決定粒子的轉動慣量。

3.2 粒子轉動慣量範例題

例題1.

一個質量為 2 kg 的粒子被綁在一條長 0.5 m 的繩子上，然後旋轉。粒子旋轉時的轉動慣量是多少？

解決方案：

我 = 先生²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg m ²

例題2.

兩個質量分別為 2 kg 和 4 kg 的質點透過一條長 2 公尺的輕質導線連接。忽略導線的質量。求這兩個質點的轉動慣量，已知：

a) 旋轉軸位於兩個粒子之間

解決方案：

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg m ²

b) 旋轉軸距離質量為 2 kg 的粒子 0.5 公尺。

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

c) 旋轉軸距離質量為 4 kg 的粒子 0.5 公尺。

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

根據上述計算結果，轉動慣量受旋轉軸位置的顯著影響。即使形狀和尺寸相同，但由於旋轉軸位置不同，轉動慣量也會不同。

靠近旋轉軸的粒子轉動慣量較小，而遠離旋轉軸的粒子轉動慣量較大。如果我們假設上述兩個粒子都是剛體，那麼每個粒子都靠近旋轉軸。

它的轉動慣量小於距離旋轉軸較遠的粒子的轉動慣量。

3.3 均質剛體的轉動慣量

剛體由許多粒子組成。剛體的轉動慣量是構成該剛體的每個粒子的轉動慣量總和。

I = Σ mr ²

I = m₁ r₁² + 米₂ r₂² + 米₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

要確定剛體的轉動慣量，我們需要檢視物體旋轉時的狀態，因為旋轉軸的位置會影響物體的轉動慣量。每個質點的轉動慣量 (I) 也取決於質點的質量 (m) 以及質點到旋轉軸距離的平方 (r² ⁾。構成物體的所有質點的質量總和即為物體的質量。

問題是，每個粒子到旋轉軸的距離都不相同。

複習具有 R 個指片和 M 個質量的細環的轉動慣量公式的減少情況。

如果旋轉軸位於環的中心，則薄環的所有質點都位於旋轉軸的正上方。薄環的轉動慣量等於所有質點轉動慣量的總和：

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² + 米₂ r₂² + 米₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

所有粒子的質量 = 細環的質量 (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + _rn ² )

細環上的每個粒子到旋轉軸的距離均為 r，因此_r₁ = r₂ ₌ r₃ ₌ rn = R

薄環轉動慣量的方程式：

I = MR ²

I = 細環的轉動慣量，M = 細環的質量，R = 細環的半徑。

如果旋轉軸不在環的中心怎麼辦？如果旋轉軸不在環的中心，則無法用上述方法推導出薄環的轉動慣量公式。

因為每個粒子到旋轉軸的距離都不同。本文不討論此類問題的轉動慣量公式推導。

某些剛體的轉動慣量公式

3.4 均勻剛體轉動慣量範例題

例題1：

桿狀圓柱體AB繞B點旋轉時的質量為3公斤，

轉動慣量為 27 kg·m² ^。如果……，轉動慣量是多少？

旋轉經過C點？

解決方案：

解決方案：

均質實心桿的轉動慣量公式（旋轉軸位於桿的中心）：

I = 1/12 毫升²

27 = (1/12) 毫升²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

均質實心桿（旋轉軸位於桿的邊）轉動慣量的計算公式：

I = 1/3 毫升²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²