轉動慣量、質點與剛體－問題與解答

粒子的轉動慣量

1. 一個質量為100克的球連接在一條長30公分的繩子的一端。忽略繩子的質量，求球繞旋轉軸AB的轉動慣量。

已知：

AB點的旋轉軸

小球質量(m) = 100 克 = 100/1000 = 0.1 公斤

小球到旋轉軸的距離 (r) = 30 公分 = 0.3 米

求：球的轉動慣量（I）

解決方案：

I = mr² ⁼ (0.1 kg)(0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ²

[內部審查程序]

2. 一個質量為100克的球（m₁ _）和一個質量為200克的球（m₂ _）透過一根長60公分的桿連接。忽略桿的質量。旋轉軸位於桿的中心。求球繞旋轉軸的轉動慣量。

已知：

球1的質量（m1 _） = 100公克 = 100/1000 = 0.1公斤

球 1 到旋轉軸的距離 (r1 ₎ = 30 公分 = 30/100 = 0.3 米

小球的質量 (m² ₎ = 200 克 = 200/1000 = 0.2 公斤

球 2 到旋轉軸的距離 (r₂ ) _{= 30}公分= 30/100 = 0.3 米

求：球的轉動慣量

回答 ：

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.2 kg)( 0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.2 kg)( 0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ² + 0.018 kg m ²

I = 0.027 kg m ²

[內部審查程序]

3. 一個質量為200克的球（m₁ _）和一個質量為100克的球（m₂ _）透過一根長60公分的桿連接。忽略桿的質量。旋轉軸位於球m₂_處。求這兩球的轉動慣量。忽略桿的質量。

已知：

球1的質量（m1 _） = 200公克 = 200/1000 = 0.2公斤

球 1 與旋轉軸之間的距離 (r₄ ₎ = 60 公分 = 60/100 = 0.6 米

球2的質量（m2 _） = 100公克 = 100/1000 = 0.1公斤

球 2 與旋轉軸之間的距離 (r2 ₎ = 0 米

求：球的轉動慣量

解決方案：

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ² + (0.2 kg)(0 ) ²

I = (0.2 kg)( 0.36 m ² ) + 0

I = 0.072 kg m ²

[內部審查程序]

4. 每個小球的質量均為100克，並用繩子連接。繩子的長度為60厘米，寬度為30厘米。求小球繞旋轉軸的轉動慣量。忽略繩子的質量。

已知：

小球的質量 = m₁ ₌ m₂ ₌ m₃ ₌ m₄ ₌ 100公克 = 100/1000 = 0.1 公斤

小球到旋轉軸的距離 (r₁ ₎ = 30 公分 = 30/100 = 0.3 米

球 2 與旋轉軸之間的距離 (r₄ ₎ = 30 公分 = 30/100 = 0.3 米

球 3 與旋轉軸之間的距離 (r₄ ₎ = 30 公分 = 30/100 = 0.3 米

球 4 與旋轉軸之間的距離 (r₄ ₎ = 30 公分 = 30/100 = 0.3 米

已知：轉動慣量

解決方案：

I = m₁ r₁² + 米₂ r₂² + 米₃ r₃² + 米₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.036 kg m ²

[內部審查程序]

剛體的轉動慣量

5. 質量為 2 kg、長度為 2 m 的均勻桿，其轉動慣量為何？旋轉軸位於桿的中心。

已知：

桿的質量 (M) = 2 kg

桿的長度 (L) = 2 米

求：轉動慣量

解決方案：

當旋轉軸位於長均勻桿的中心時，轉動慣量的計算公式為：

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/12) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/12)(8 kg m ² )

I = 8/12 kg m ²

I = 2/3 kg m ²

[內部審查程序]

6. 質量為 2 kg、長度為 2 m 的均勻桿，其轉動慣量為何？旋轉軸位於桿的一端。

已知：

桿的質量 (M) = 2 kg

剛性桿的長度 (L) = 2 米

求：轉動慣量

解決方案：

當旋轉軸位於桿的一端時，轉動慣量的計算公式為：

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/3) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/3)(8 kg m ² )

I = 8/3 kg m ²

[內部審查程序]

7. 質量為 10 kg、半徑為 0.1 m 的實心圓柱體，其旋轉軸位於圓柱體的中心，如下圖所示。求該圓柱體的轉動慣量。

已知：

實心圓柱體的質量 (M) = 10 kg

圓柱體半徑 (L) = 0.1 米

尋找：慣性矩

尋找：慣性矩

解決方案：

當旋轉軸位於圓柱體中心時，轉動慣量的計算公式為：

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 m ² )

I = (1/2)(0.1 kg m ² )

I = 0.05 kg m ²

8. 質量為 20 公斤、長度為 0.1 公尺的均勻球體。旋轉軸位於球心，如下圖所示。

已知：

球體質量 (M) = 20 kg

球體半徑 (L) = 0.1 米

需要：片刻的慣性

解決方案：

當旋轉軸位於球心時，轉動慣量的計算公式為：

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 m ² )

I = (2/5)(0.2 kg m ² )

I = 0.4/5 kg m ²

I = 0.08 kg m ²

[內部審查程序]

9. 如圖所示，質量為2 kg、長0.5 m、寬0.2 m的長方形薄板，其旋轉軸位於薄板中心。求該矩形薄板的轉動慣量。

已知：

矩形板的質量 (M) = 2 kg

板的長度 (a) = 0.5 米

板的寬度 (b) = 0.2 米

需求：轉動慣量

解決方案：

當旋轉軸位於板中心時，轉動慣量的計算公式為：

I = (1/12 ) M( ^a2 + ^b2 )

I = (1/12)(2)(0.5 ² + 0.2 ² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg m ²