角動量

角動量

旋轉運動的量，與直線運動中的質量 (m) 相同，稱為轉動慣量(I)。旋轉運動的量，與直線運動中的速度 (v) 相同，稱為角速度 (ω)。因此，旋轉物體具有角動量，可以用以下公式計算：

L = I ω

L = 角動量（kg m ² /s），I = 轉動慣量（kg m ²），ω = 角速度（rad/s）

角動量範例題

例題1.

質量為 0.5 克的粒子以 2 rad/s 的恆定角速度做圓週運動。若粒子運動路徑的半徑為 10 厘米，求該粒子的角動量。

解決方案：

粒子的轉動慣量：

I = mr² ⁼ (0.5 × ^{10⁻³ kg} )(1 × ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 × ^10⁻³ kg)(1 × ^10⁻² m² ) = 0.5 × ^10⁻⁵ kg ^m²

粒子的角速度：

ω = 2 弧度/秒

粒子的角動量：

L = (0.5 × 10⁻⁵ ^kg ·m² ⁾ (2 rad/s) = 1 × 10⁻⁵ ^kg ·m² ^/ s

角動量守恆定律

角動量守恆定律指出，如果剛體旋轉時所受合力矩為零，則剛體旋轉時的角動量始終保持不變。角動量守恆定律可以透過對牛頓第二角動量定律的方程式進行修正而得到。以下是牛頓第二角動量定律的方程式：

如果合力矩為零，則上述方程式變為：

I _t = 末轉慣量，I _o = 初轉動慣量，ω _t = 末角速度，ω _o = 初角速度，L _t = 末角動量，L _o = 初角動量。

角動量守恆定律的例題

例題1.

一個均勻實心圓柱圓盤以 4 rad/s 的速度繞其軸線旋轉。圓盤的質量和半徑分別為 1 kg 和 0.5 m。若在圓盤上方放置一個質量為 0.2 kg、半徑為 0.1 m 的圓環，且圓環的中心位於圓心處，

就在圓盤中心上方，那麼圓盤和環將以角速度一起旋轉…

解決方案：

實心圓柱體的轉動慣量：I = 1/2 mr² ⁼ 1/2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg· ^m²

環的轉動慣量：I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg· ^m²

初始角動量（L1 _） = 最終角動量（_L2）

I₁ω₁ = _I₂ω₂

(0.125 kg m ² )(4 rad/s) = (0.125 kg m ² + 0.002 kg m ² )(ω ₂ )

（0.5）=（0.127）（ω ₂）

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω₂ = ₄ rad/s

概念性問題和答案

1. 什麼是角動量？
   答： 角動量是衡量物體旋轉程度的指標，它考慮了物體的質量和形狀。它是線動量的旋轉對應。
2. 如何用數學方法確定角動量？
   答： 角動量（L）定義為 $L=r\times p$，其中 $r$ 是從旋轉軸到作用點的位置向量，並且 $p$ 是線性動量。
3. 角動量是標量還是向量？
   答： 角動量是一個向量。
4. 在國際單位制（SI）中，角動量的單位是什麼？
   答： 在國際單位制（SI）中，角動量的單位是公斤·米²每秒（kg·m²）。²/秒）。
5. 角動量是如何守恆的？
   答： 在沒有外部扭矩的封閉系統中，總角動量保持不變。
6. 角動量守恆原理是什麼？
   答： 該原理指出，除非受到外部扭矩的作用，否則封閉系統的總角動量保持不變。
7. 花式滑冰選手的旋轉與角動量有何關係？
   答： 花式滑冰選手在旋轉時將手臂和腿收攏到身體附近，會減少轉動慣量，從而加快旋轉速度。這體現了角動量守恆。
8. 扭力和角動量之間有什麼關係？
   答： 扭矩（$\tau$) 是角動量的變化率。從數學上講， τ=d升/秒​.
9. 物體有可能具有角動量而沒有角速度嗎？
   答： 不，如果一個物體具有角動量，那麼它就具有角速度。角動量的大小和方向取決於轉動慣量和角速度。
10. 轉動慣量如何影響角動量？
    答： 角動量（L）是轉動慣量（I）和角速度（ω）的乘積。 $L=I\omega$對於給定的角速度，轉動慣量的增加將增加角動量。
11. 在量子力學中，自旋角動量和軌道角動量有什麼不同？
    答： 自旋角動量是粒子（例如電子）的固有屬性，並非源自於空間運動。而軌道角動量則源自於粒子繞中心點的運動。
12. 角動量在行星系統的形成中扮演什麼角色？
    答： 當分子雲坍縮形成恆星和行星時，角動量守恆導致物質在新生恆星周圍扁平化成圓盤，行星便由此形成。
13. 陀螺儀如何保持在空間中的方向？
    答： 旋轉的陀螺儀具有角動量。當外部扭矩試圖改變其方向時，由於角動量守恆，陀螺儀會發生進動，即改變其旋轉軸，其方向垂直於所施加的扭矩。
14. 是什麼原因導致陀螺發生進動？
    答： 陀螺的進動是由重力作用於陀螺質心（其質心偏離旋轉中心）產生的扭矩引起的。此扭矩導致陀螺角動量的方向發生變化，從而使其發生進動。
15. 為什麼恆星在其兩極會變扁？
    答： 恆星自轉時，會受到離心力的作用，將物質向外推。這種作用在赤道比在兩極更強，導致恆星呈現扁球形。
16. 角動量與開普勒第二定律有何關係？
    答： 克卜勒第二定律指出，連接行星和太陽的線段在相等的時間間隔內掃過的面積相等。這是角動量守恆定律的推論。
17. 為什麼貓咪跌倒時總是會四腳著地？
    答： 貓利用角動量守恆定律。它們透過在空中扭轉身體並改變轉動慣量，重新調整自身姿態，從而四腳著地，而不會違反角動量守恆定律。
18. 電子的磁矩與角動量有何關係？
    答： 電子的磁矩來自其自旋和軌道角動量。磁矩與電子的角動量成正比。
19. 用極座標表示角動量是什麼？
    答： 在極坐標系中，角動量 $L$ 對於質點，可以表示為 $L=mrv$，其中 $m$ 是質量， $r$ 是徑向距離， $v$ 是切向速度。
20. 當兩個物體碰撞時，封閉系統的角動量會發生什麼變化？
    答： 在一個封閉系統中，兩個物體發生碰撞，假設沒有外部扭力作用於系統，則碰撞前的總角動量等於碰撞後的總角動量。

問題與解決方案

1. 問題：質量為 m = 2 kg 的質點以速度 v = 3 m/s 做半徑為 r = 4 m 的圓週運動。計算它繞圓心的角動量。

解：$L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg· ^m² /s

2. 問題：質量為 3 kg、半徑為 0.5 m 的實心球繞其直徑旋轉，角速度為 ω = 2 rad/s。它的角動量是多少？

解：對於實心球，I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. 問題：質量為 3 kg 的質點以 4 m/s 的速率沿直線移動。求它相對於距離運動方向 5 m 處的角動量。

解決方案：

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg· ^m² /s

4. 問題：質量為 5 kg、半徑為 3 m 的圓盤以 2 rad/s 的角速度旋轉。計算它的角動量。

解：對於圓盤，I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. 問題：一根長4公尺、質量2公斤的桿繞一端旋轉，角速度為3弧度/秒。求其角動量。

解：對於繞一端的桿，I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. 問題：如果一個旋轉物體的角速度加倍，那麼它的角動量變化是多少？

解：角動量（L）與角速度（ω）的關係為$L=I\times \omega$。如果 ω 加倍，角動量也會加倍。

7. 問題：如果運動粒子的圓週運動半徑加倍，而速度不變，那麼角動量變化多少倍？

解：角動量，$L=m\times r\times v$。如果 r 加倍，L 也會加倍。

8. 問題：質量為 30 kg 的孩子站在靜止的旋轉木馬邊緣。旋轉木馬的半徑為 2 m。若孩子開始沿邊緣以 2 m/s 的速率相對於地面奔跑，求孩子相對於旋轉中心的角動量。

解：$L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg· ^m² /s

9. 問題：一個質量為 6 kg、半徑為 2 m 的圓柱體繞其中心軸以 5 rad/s 的角速度旋轉。計算其角動量。

解：對於圓柱體，I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ = 1/2 × 6 × 2² ^× 5 = 120 kg· ^m² /s

10. 問題：如果一個物體的轉動慣量減半，角速度變成原來的三倍，那麼這個物體的角動量就會變成原來的三倍？

解：已知$L=I\times \omega$，若$I$減半，$\omega$增加三倍，則新的$L$將是原來的1/2×3=1.5 倍。

11. 問題：質量為2kg、半徑為1m的圓環以4 rad/s的角速度旋轉。計算它的角動量。

解：對於圓環，I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg· ^{m 2} /s

12. 問題：一風扇的葉片長度為0.5米，總質量為1公斤。若它以10弧度/秒的角速度旋轉，求其角動量。

解：假設風扇葉片像桿一樣繞一端旋轉，則^I = 1/3 ml 2

$L=I\times \omega$ = 1/3 × 1 × 0.5² ^× 10 = 0.833 kg· ^m² /s

13. 問題：計算地球因自轉而繞自身軸的角動量。已知：地球質量= 5.972×10 ²⁴ kg，半徑$r=6371\text{km}$，ω = 7.27 × 1 0 ⁻⁵ rad/s。

解：假設地球為實心球體，則 I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. 問題：一個孩子向旋轉平台的中心移動。角動量是增加、減少還是不變？

答：角動量守恆。當孩子向中心移動時，轉動慣量減少。為了保持角動量守恆，角速度增加。因此，角動量保持不變。

15. 問題：如果旋轉物體的動能加倍，其角動量變化多少倍？

解：動能K = 1/2 I ω² ^，角動量$L=I\omega$。如果動能加倍而$I$不變，則ω²^也加倍。這意味著$\omega$增加了√2倍。因此$，\; L也增加了$√2倍。

16. 問題：半徑為 0.3 公尺的自行車輪，輪圈質量為 1.5 公斤。如果它以 5 rad/s 的角速度旋轉，求它的角動量。

解：假設籃框為圓環，則I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. 問題：一名滑冰選手在旋轉時將雙臂向內收攏。她的角動量會發生什麼變化？

答：滑冰選手的角動量守恆。透過收回雙臂，她減小了轉動慣量，從而旋轉速度加快（角速度增大），以保持角動量守恆。

18. 問題：一個飛輪^的轉動慣量為 0.2 $\text{·m²}$角速度為 10 rad/s。求其角動量。

解決方案：

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg· ^m² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg· ^m² / s

19. 問題：一個系統所受的淨外部力矩為零。關於它的角動量，你能得到什麼結論？

解：若合外力矩為零，則根據角動量守恆定律，系統的總角動量不變。

20. 問題：質量為 m = 5 kg 的質點以速率 v = 3 m/s 垂直於連接該質點和點 P 的直線運動。若質點到點 P 的距離為 4 m，求質點相對於點 P 的角動量。

解決方案：

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s