30 等溫熱力學過程—問題與解決方案
1. 下圖所示的PV圖表明，理想氣體經歷等溫過程。計算氣體在過程AB中所做的功。
解決方案
工作 氣體所做的功等於PV曲線下的面積。
AB = 三角形面積 + 長方形面積
W = [½ (8 x 10 5 –4 x 10 5 )(3-1)] + [4 x 10 5 (3-1)]
W = [½ (4 x 10 5 )(2)] + [4 x 10 5 (2)]
W = [4 x 10 5 ] + [8 x 10 5 ]
W = 12 x 105焦耳
過程中氣體所做的功為 AB = 12 x 10 5焦耳
2.計算理想氣體在過程 ABC 中所做的功。
在過程 ABC = 中，理想氣體所做的功是 PV曲線下的面積
AB = 三角形面積 + 長方形面積
W = [½(10×10 5 –5×10 5 )(30-10)]+[5×10 5 (30-10)]
W = [½ (5 x 10 5 )(20)] + [5 x 10 5 (20)]
W = [(5 x 10 5 )(10)] + [100 x 10 5 ]
W = [50 x 10 5 ] + [100 x 10 5 ]
W = 150 x 105焦耳
W = 1.5 x 105焦耳
3.理想氣體經歷等溫過程。在氣體中加入一定量的熱量，使氣體對環境做功 5000 焦耳，求該熱量的多寡。
已知：
功 (W) = 5000 焦耳
需求：在氣體中添加熱量（Q）
解決方案：
等溫過程是指在恆定溫度下發生的熱力學過程。
ΔU = 3/2 n R ΔT
ΔU = 內能變化，n = 摩爾數，R = 通用氣體常數，ΔT = 溫度變化。
根據上述方程，若 ΔT = 0，則 ΔU = 0。
熱力學第一定律方程式：
ΔU = Q – W
0 = Q – W
Q=W
Q = 5000 焦耳。
4. 下圖所示為理想氣體等溫過程的PV圖。計算過程AB中氣體吸收的熱量。
已知：
壓力1 (P₂ ) = 5 atm = 5 × 10⁵ Pa
壓力2 (P₂ ) = 10 atm = 10 × 10⁵ Pa
體積 1 (V1 ) = 2立方米
體積 2 (V2 ) = 6立方米
需求：在製程 AB 中加入熱量。
解決方案：
等溫過程 = 溫度恆定。根據下列公式，如果 ΔT = 0，則 ΔU = 0。
ΔU = 3/2 n R ΔT
ΔU = 3/2 n R (0)
ΔU = 0
應用於熱力學第一定律：
ΔU = QW
0 = QW
Q=W
理想氣體所做的功 = PV曲線下的面積 = 三角形面積 + 矩形面積
W = ½ (P 2 – P 1 )(V 2 – V 1 ) + P 1 (V 2 – V 1 )
W = ½ (10 x 10 5 – 5 x 10 5 )(6-2) + (5 x 10 5 )(6-2)
W = ½ (5 x 10 5 )(4) + (5 x 10 5 )(4)
W = ½ (20 x 10 5 ) + (20 x 10 5 )
W = (10 x 10 5 ) + (20 x 10 5 )
瓦特 = 30 × 10⁶焦耳
5. 計算 1 mol 理想氣體在 300 K 下等溫膨脹，體積從 2 L 膨脹到 4 L 所做的功。
解：\( W = nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 1 \times 8.314 \times 300 \times \ln(2) \approx 1724 \, \text{J} \)
6. 確定上述問題的傳熱量。
解：\( Q = W = 1724 \, \text{J} \)
7. 計算上述過程的內能變化。
解：\( \Delta U = 0 \, \text{J} \) （因為該過程是等溫的）
8. 在 300 K 下，將理想氣體從 10 L 等溫壓縮到 5 L，求所做的功。
解：\( W = 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{5}{10}\right) \approx -862 \, \text{J} \)
9. 計算問題 1 中等溫膨脹的熵變。
解：\( \Delta S = nR\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = 8.314 \times \ln(2) \approx 5.76 \, \text{J/K} \)
10. 求 2 mol 理想氣體在 200 K 下從 4 L 等溫壓縮到 2 L 的熱傳遞量。
解：\( Q = 2 \times 8.314 \times 200 \times \ln\left(\frac{2}{4}\right) \approx -1152 \, \text{J} \)
11. 計算等溫過程的吉布斯自由能變化。
解：\( \Delta G = 0 \)（對於封閉系統中的可逆等溫過程，\( \Delta G = 0 \)）
12. 求 3 mol 理想氣體在 400 K 下從 6 L 等溫壓縮到 3 L 的熵變。
解：\( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{3}{6}\right) \approx -17.29 \, \text{J/K} \)
13. 求理想氣體在 250 K 下等溫膨脹，體積從 3 L 膨脹到 6 L，體積變化 2 mol 所做的功。
解：\( W = 2 \times 8.314 \times 250 \times \ln(2) \approx 2874 \, \text{J} \)
14. 確定上述過程的熱傳遞量。
解：\( Q = W = 2874 \, \text{J} \)
15. 計算上述等溫膨脹過程中內能的變化。
解：\( \Delta U = 0 \, \text{J} \)
16. 計算 4 mol 理想氣體在 500 K 下從 5 L 等溫膨脹到 10 L 的熵變。
解：\( \Delta S = 4 \times 8.314 \times \ln(2) \approx 23.03 \, \text{J/K} \)
17. 求 1 mol 理想氣體在 300 K 下從 8 L 等溫壓縮到 4 L 的熱傳遞量。
解：\( Q = 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{4}{8}\right) \approx -862 \, \text{J} \)
18. 求 3 mol 理想氣體在 350 K 下等溫膨脹，體積從 3 L 膨脹到 9 L 所做的功。
解：\( W = 3 \times 8.314 \times 350 \times \ln(3) \approx 5362 \, \text{J} \)
19. 計算上述過程的熵變。
解：\( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 14.88 \, \text{J/K} \)
20. 求 2 mol 理想氣體在 200 K 下從 2 L 等溫膨脹到 8 L 的熱傳遞量。
解：\( Q = 2 \times 8.314 \times 200 \times \ln(4) \approx 2304 \, \text{J} \)
21. 計算 4 mol 理想氣體在 500 K 下等溫壓縮時，從 10 L 壓縮到 5 L 的內能變化。
解：\( \Delta U = 0 \, \text{J} \)
22. 求 5 mol 理想氣體在 300 K 下從 5 L 等溫膨脹到 15 L 的熵變。
解：\( \Delta S = 5 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 24.81 \, \text{J/K} \)
23. 求 2 mol 理想氣體在 400 K 下等溫壓縮，從 6 L 壓縮到 2 L 所做的功。
解：\( W = 2 \times 8.314 \times 400 \times \ln\left(\frac{2}{6}\right) \approx -2874 \, \text{J} \)
24. 計算 3 mol 理想氣體在 250 K 下從 9 L 等溫壓縮到 3 L 的熵變。
解：\( \Delta S = 3 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{3}{9}\right) \approx -14.88 \, \text{J/K} \)
25. 求 1 mol 理想氣體在 350 K 下從 4 L 等溫膨脹到 12 L 的熱傳遞量。
解：\( Q = 8.314 \times 350 \times \ln(3) \approx 1791 \, \text{J} \)
26. 求 4 mol 理想氣體在 500 K 下等溫膨脹，體積從 4 L 膨脹到 8 L 所做的功。
解：\( W = 4 \times 8.314 \times 500 \times \ln(2) \approx 5749 \, \text{J} \)
27. 求 2 mol 理想氣體在 200 K 下從 10 L 等溫壓縮到 5 L 的熵變。
解：\( \Delta S = 2 \times 8.314 \times \ln\left(\frac{5}{10}\right) \approx -5.76 \, \text{J/K} \)
24. 求 3 mol 理想氣體在 450 K 下等溫壓縮，從 9 L 壓縮到 3 L 所做的功。
解：\( W = 3 \times 8.314 \times 450 \times \ln\left(\frac{3}{9}\right) \approx -4310 \, \text{J} \)
25. 計算 5 mol 理想氣體在 400 K 下從 5 L 等溫膨脹到 10 L 的內能變化。
解：\( \Delta U = 0 \, \text{J} \)
26. 求 4 mol 理想氣體在 300 K 下從 6 L 等溫膨脹到 18 L 的熵變。
解：\( \Delta S = 4 \times 8.314 \times \ln(3) \approx 19.85 \, \text{J/K} \)
這些問題涵蓋了等溫過程的各個方面，包括所做的功、熱傳遞、內能變化和熵變。
