機械能守恆—問題與解決方案
1.如圖所示，質量為 m kg 的物塊從光滑斜面的頂端釋放。物塊在 M 點的重力位能和動能之比為…
解決方案
M點的重力位能：
PE M = mg (1/3 h) = 1/3 mgh
M 點的動能：
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
EP M：EK M
1/3 mgh : 2/3 mgh
1/3 : 2/3
1：2
2. 如圖所示，一名滑雪者從A點高度滑下。如果初速度為0，重力加速度為10 m/ s²，那麼滑雪者在B點的速度是多少？
已知：
初始速度（v₀ ） = 0
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
高度變化量 = 50 米 – 10 米 = 40 米
求：滑雪者在B點的速度
解決方案：
機械能守恆原理指出，初始機械能等於最終機械能。
初始機械能 = B 點的位能（高度 = 40 公尺）
最終機械能 = B 點的動能
最終機械能 = 初始機械能
½ mv t 2 = mgh
½ v t 2 = gh
½ v t 2 = (10)(50-10)
½ v t 2 = (10)(40)
½ v t 2 = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
vt = √800 = √(2)(400) = 20√2 公尺/秒
3. 一個物體從A點開始無初速滑動。如果沒有摩擦力，物體在最低點的速率是多少？
已知：
物體的質量 = m
初始速度（v₀ ） = 0
高度 (h) = 20 米
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
求：末速度（v t）
解決方案：
初始機械能 (ME1 ) = A 點的重力位能 (PEA ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
最終機械能 (ME2 ) = 動能 (KE) = ½ mvt2
物體在最低點的速率（v t）？
應用機械能守恆定律可知，初始機械能等於最終機械能。
EM1 = EM2
200 公尺 = ½ mv t 2
200 = ½ v t 2
400 = v t 2
vt = 20 公尺/秒
4. 如圖所示，質量為2公斤的球從A點自由下落（g = 10 m/ s²）。到達B點後，球的動能等於位能的2倍。求B點距地球表面的高度。
已知：
小球質量 (m) = 2 kg
重力加速度 (g) = 10 m /s²
A點的高度（h<sub> A</sub>）= 90米
求：點 B 的高度 (h B )
解決方案：
當球到達 B 點時，球在 B 點的動能 = 2 倍於球在 B 點的重力位能。
EK = 2 EP
½ mv 2 = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v 2 = 2(2)(10) h B
v 2 = 40 小時B
小球從 A 點自由落體後到達 B 點時的速率 (v)：
v 2 = 2 gh = 2(10)(90–h B ) = 20(90–h B )
將上式中的v 2替換為本式中的v 2 。
v 2 = 40 小時B
20(90–h B ) = 40 h B
1800–20 小時B = 40 小時B
1800 = 40 小時B + 20 小時B
1800 = 60 小時B
h B = 1800 / 60
h B = 30 米
5. 如圖所示，質量為1公斤的球從A點滑落到C點。若重力加速度為10公尺/秒²，求球到達C點時的動能。
已知：
小球質量 (m) = 1 kg
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
高度變化 (h) = 0.75 米
初始位能（PE o）= mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 焦耳
初始動能 (KE<sub> o</sub> ) = ½ mv <sub>o </sub><sup> 2</sup> = ½ m(0) <sup>2</sup> = 0
最終重力位能（PE t）= mgh = mg (0) = 0
求：小球在C點的動能
解決方案：
初始機械能（ME o）= 最終機械能（ME t）
初始重力位能（PE o）+ 初始動能（KE o）= 末重力位能（PE t）+ 末動能（KE t）
7.5焦耳 + 0 = 0 +動能
7.5 焦耳 =動能
小球在 C 點的動能 = 7.5 焦耳。
6. 如圖所示，質量為2公斤的球從A點釋放。曲面是光滑的。若重力加速度為10公尺/秒²，求球在B點的動能。
已知：
小球質量 (m) = 2 kg
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
高度變化量 (h) = 120 公分 = 1.2 米
初始重力位能（PE o）= mgh = (2)(10)(1.2) = 24 焦耳
初始動能 (KE<sub> o</sub> ) = ½ mv <sub>o </sub><sup> 2</sup> = ½ m(0) <sup>2</sup> = 0
最終重力位能（PE t）= mgh = mg (0) = 0
求：球在 B 點的動能
解決方案：
A點的機械能（初始機械能）= B點的機械能（最終機械能）
初始機械能（ME o）= 最終機械能（ME t）
初始重力位能（PE o）+ 初始動能（KE o）= 末重力位能（PE t）+ 末動能（KE t）
24焦耳 + 0 = 0 +動能
24 焦耳 =動能
小球在 C 點的動能 (KE) = 24 焦耳。
7.一個物體具有固定的機械能、較大的動能和較小的重力位能。該物體是…
A. 靜止狀態
B. 向上移動
C. 向下移動
D. 向上加速
解決方案：
動能增大，表示物體的速度增加；重力位能減小，表示物體離地面的高度減少。這種情況發生在物體從一定高度落到地面時。
速度與動能之間的關係可以用動能公式表示：
動能 = ½ mv²
公式說明：KE = 動能，m = 質量，v = 速度
高度與重力位能之間的關係可以用重力位能公式表示：
PE = mgh
公式說明：PE = 重力位能，m = 質量，g = 重力加速度，h = 高度
正確答案是C。
- 什麼是機械能？
- 答： 機械能是物體動能和位能之和。動能與物體的運動有關，而位能與物體的位置或形態有關。
- 機械能守恆定律闡述了什麼？
- 答： 原理指出，在一個僅受保守力作用的孤立系統中，總機械能保持不變。這意味著動能和位能之和不隨時間變化。
- 保守力和非保守力如何影響機械能守恆？
- 答： 保守力，例如重力，不會改變系統的總機械能。它們可能會將位能轉化為動能，反之亦然，但總和保持不變。非保守力，例如摩擦力，會耗散機械能，通常會將其轉換為熱能。
- 為什麼在涉及摩擦的現實世界場景中機械能不守恆？
- 答： 摩擦力是一種非保守力。當物體靠近時，摩擦力會將系統的部分機械能轉換為熱能，導致系統的總機械能減少。
- 如何用擺動的單擺來證明機械能守恆？
- 答： 在沒有空氣阻力（一種非保守力）的情況下，當擺錘向上擺動時，其動能轉化為重力位能。在擺動的最高點，擺錘具有最大位能和最小動能。當擺錘向下擺動時，位能又轉化為動能。儘管能量形式不斷轉換，但總機械能保持不變。
- 為什麼即使沒有外力作用，彈跳的球最終也會停止運動？
- 答： 當球彈跳時，並非所有動能都會轉化為位能。部分能量會損失掉，通常以聲音或球體形變的形式散失，尤其會因球體材料內部的摩擦而損失。這些都是非保守力的作用，它們會使球的機械能隨著每次彈跳而減少，直到球最終靜止。
- 在雲霄飛車中，機械能最高和最低分別在哪裡？
- 答： 如果忽略空氣阻力和摩擦力，過山車的總機械能保持不變。然而，在最高點，位能最大，動能最小。隨著雲霄飛車下降，位能轉換為動能，因此在最低點，動能最大，位能最小。
- 機械能守恆定律如何幫助我們理解行星軌道？
- 答： 圍繞太陽等恆星運行的行星既具有動能（由於其運動），也具有引力位能（由於其相對於太陽的位置）。當行星靠近太陽時，其運行速度加快，動能增加，引力位能減少；反之亦然。假設其他力（例如其他行星的力）可以忽略不計，則行星的總機械能隨時間保持不變。
- 為什麼處於穩定軌道上的衛星不會墜入地球？
- 答： 雖然衛星確實會受到地球引力的作用而向地球移動，但其向前運動的動能使其保持在軌道上運行。這種動能與引力位能的平衡使衛星保持在穩定的軌道上，並擁有恆定的機械能。
- 如果滑雪者從無摩擦山頂靜止開始滑下，那麼她到達山底的速度與她從山坡中間開始滑下的速度相比如何？
- 答： 在無摩擦的山坡上，滑雪者的總機械能守恆。如果她從山頂開始滑行，她初始的位能將比從半山腰開始滑行時更大。這些位能將在下滑過程中完全轉化為動能。因此，如果她從山頂開始滑行，到達山底時的速度會比從半山腰開始滑行更快。
