利用單位向量分量進行點乘法運算
如果我們知道向量A和B的 x、y 和 z 分量（已知向量），我們可以直接計算標量積。
為了以這種方式進行點積運算，我們首先對單位向量進行點積運算，然後將向量A和B表示為它們的分量，分解乘積並使用單位向量的乘積。
單位向量i、j和k互相垂直，這使得計算更加簡單。利用上面推導出的標量乘法方程式（AB = AB cos θ），我們得到：
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 ° = 0
現在我們將向量 A 和 B 用它們的分量表示，分解它們的乘積，並使用單位向量的乘積。
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
林嘉欣 i . i = j . j = k . k = 1 和 i . j = i . k = j . k = 0，則：
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A · B = A × B × (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
根據這個計算結果可以得出結論：兩個向量的標量積或點積等於它們相同分量的乘積總和。
例題1：
大向量 A 擔 B 如圖所示，這兩個角分別為5和4。它們形成的角為90度。o數一數 點積 兩個向量。
彭巴哈桑
在計算向量 A 和 B 的點積之前，我們首先需要知道第二個向量的分量。
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
向量A僅在 x 軸方向有分量，向量B僅在 y 軸方向上有分量。由於向量A和B位於 xy 平面內，因此 z 分量為零。
現在我們使用分量向量的點積公式來計算向量A和B的點積：
一種 。 B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
讓我們把它與第一種方法做比較。
AB = AB cos θ
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
結果是一樣的。
例題2：
大向量 A 擔 B 如圖所示，分別為 5 和 4。計算 點積 這兩個向量，如果它們形成的夾角為 30 度。o
彭巴哈桑
在計算向量 A 和 B 的點積之前，我們首先需要知道第二個向量的分量。
因為向量A和B位於 xy 平面內，所以 z 分量為零。
現在我們使用分量向量的點積公式來計算向量A和B的點積：
與第一種方法進行比較。
