圆周运动中的物理量

圆周运动的物理量包括角位移、角速度和角加速度。

1. 角位移 （θ）

圆周运动中的位移称为角位移。角位移包含矢量，因此具有大小和方向。角位移的方向通常用顺时针方向（顺时针或逆时针）表示。

角位移有三个单位。首先是度（°）。圆周长为 360°。^o第二，旋转。圆周长等于圆周长。第三，弧度。观察下图。如果一个物体沿圆周运动，则 r = 圆的半径，x = 物体运动的圆周长。

圆的周长等于 2π 弧度。

例题1：

1 转 = 360 ^°。半转 = … 弧度？

解决方案：

1 转 = 360 ^o = 2 π rad = 2(3.14) rad = 6.28 rad

半圈 = 180 ^° = 1/2 (6.28弧度) = 3.14弧度

例题2：

1 rad = …… ^o？ 1 ^o = … rad ?

解决方案：

180 ^° = π弧度 = 3.14弧度

2. 角速度 (ω)

a. 平均角速度

例题3：

一个轮子顺时针旋转，旋转180 ^°用时2秒，旋转90 ^°用时1秒。求平均角速度的大小和方向。

解决方案：

平均角速度的方向为顺时针方向。

9 ^° /s = … rad/s？

例题4：

^{一个轮子顺时针旋转，以 360 °}的角度旋转4 秒。然后，轮子逆时针旋转，以 180 ^°的角度旋转2 秒。平均角速度是多少？

解决方案：

平均角速度的方向为顺时针方向。

3 ^° /s = … rad/s？

b.瞬时角速度

瞬时角速度通常简称为角速度。如果只提及角速度，则指的就是瞬时角速度。瞬时角速度的大小等于在极短时间间隔内角速度的大小。数学表达式为：

如果在直线运动中，我们可以用速率代替速度的大小，那么在圆周运动中，我们可以用角速率代替角速度的大小。

3. 角加速度 （α）

a.平均角加速度

例题5：

一台风车最初处于静止状态，受风力吹动后顺时针旋转。2 秒后，角速度变为 90 ^° /s。平均角速度是多少？

解决方案：

平均而言，风车的角速度每秒变化 45 度/秒 = … 弧度/秒？

b.瞬时角加速度

瞬时角加速度通常简称为角加速度。瞬时角加速度是指在极短时间间隔内角速度的变化。数学表达式为：

圆周运动中的线性量

线性量是指描述直线运动的量，例如位移（距离）、速度（速率）和加速度。另一方面，描述圆周运动的量可以称为角量。

1.排量

观察一个旋转的物体，例如轮子、风扇、风车或钟表等等。当像风扇这样的物体旋转时，风扇的所有部件都会一起旋转。如果风扇旋转一周（360 ^°），那么风扇的所有部件，无论位于边缘还是靠近轴线，也都会旋转一周或360 ^°。一周或360 ^°是风扇所有部件（包括位于边缘和靠近轴线的部件）所做角位移的大小。

当风扇旋转一周时，位于边缘的扇叶部分和靠近旋转轴的扇叶部分移动的距离为一个圆周（2）。如果风扇的半径为20厘米，则风扇边缘到旋转轴的距离为20厘米。例如，旋转轴到靠近旋转轴的扇叶部分的距离为1厘米。当风扇旋转一周时，风扇边缘沿圆周运动的距离为（2）（3.14）（20厘米）= 125.6厘米。

而位于轴线附近的点则做圆周运动，其运动距离为 (2)(3.14)(1 cm) = 6.28 cm。125.6 cm 是扇形边缘的位移量。

其中，6.28 cm 是位于旋转轴附近一点的位移量。r 越小，位移越小。位移 (d) 与角位移 (θ) 之间的关系可以用以下公式表示：

θ = d / r

d = r θ

d = 位移（米），r = 半径或到旋转轴的距离（米），θ = 角位移（弧度）

例题6：

半径为 5 厘米的 CD 旋转了 90°。求距离旋转轴 2 厘米的点的位移。

解决方案：

r = 距旋转轴的距离 = 2 厘米 = 0.02 米

θ = 90 ^° = 1.57弧度（必须以弧度表示）

d = (0.02 米)(1.57 弧度) = 0.03米。

角位移没有国际单位制单位，也没有量纲（其量纲为 1），因此在上述计算中，只需从计算结果中去掉弧度单位即可。

2.速度

风扇或任何旋转物体旋转时，当然需要一定的时间间隔。如果风扇顺时针旋转，旋转一周（360 ^°）需要1秒钟，

那么风扇所有部分的角速度为 1 转/秒 = 360^度/秒 = 6.28 弧度/秒，角速度的方向与时针的方向相同。

如果风扇半径为 20 厘米，则风扇边缘的圆周运动速度为 2(3.14)(20 厘米) / 1 秒 = 125.6 厘米/秒 = 1.256 米/秒。距离旋转轴 1 厘米（0.01 米）处的点的速度为 2(3.14)(1 厘米) / 1 秒 = 6.28 厘米/秒 = 0.0628 米/秒。半径 r 越小，速度越小。在圆周运动中，速度通常被称为切向速度。

速度（v）与角速度（ω）之间的关系可以用以下公式表示：

v = 速度（米/秒），r = 半径或到旋转轴的距离（米），ω = 角速度（弧度/秒）

例题7：

第二根指针的速度为 6.28 rad/分钟 = 6.28 rad / 60 秒 = 0.1 rad/s。距离旋转轴 2 厘米（0.02 米）处的点的速度是多少？

解决方案：

ω = 0.1 rad/s，r = 0.02 m

v=r

ω = (0.02 m)(0.1 rad/s) = 0.002 m/s

从计算结果中去除弧度。

3. 加速

当圆周运动的物体的速度大小和方向发生变化时，该物体就会产生加速度。因此，圆周运动中存在两种加速度。第一种是向心加速度（a_{_c}），也称为径向加速度（a_{_r}）。向心加速度是由于速度方向的变化而产生的。向心加速度的方向始终指向圆心。

向心加速度的大小为：

a _c = 向心加速度 (m/s ² )，r = 半径或到旋转轴的距离 (m)，v = 速度 (m/s)，ω = 角速度 (rad/s)

其次，切向加速度 (a_{_t} )。切向加速度是由于速度大小的变化而产生的。考虑旋转风扇边缘上的一个点。如果风扇最初是静止的，那么风扇边缘上的点也是静止的 (v = 0)。如果一秒后，风扇以 1 转/秒 = 360 ^° /秒 = 6.28 弧度/秒的角速度旋转，那么风扇边缘上的点将以 1.2 米/秒的速度做圆周运动。

那么，风扇边缘的点所受到的切向加速度为 1.2 米/秒 每秒 = 1.2 米/秒²。

_{切向加速度（a t}）与角加速度（α ）之间的关系可以用以下公式表示：

a _t = 切向加速度 (m/s ² )，r = 半径或到旋转轴的距离 (m)，α = 角加速度 (rad/s ² )

周期 (T) 和频率 (f) 与速度和角速度的关系

周期表示物体完成一次旋转所需的时间，而频率表示物体在一秒钟内旋转的次数。周期和频率之间的关系可以用以下公式表示：f = 1/T

周期的国际单位制单位是秒，频率的国际单位制单位是1/秒（=赫兹）。圆周运动粒子的速度（v）和角速度（ω）都可以用周期或频率来表示。

圆周运动粒子的速度（v）可以用以下公式表示：

圆周运动粒子的角速度（ω）大小可以用以下公式表示：