牛顿第二定律关于旋转运动

一篇关于牛顿第二定律（旋转运动）的文章

4.1 力矩、转动惯量和角加速度之间的关系

如果一个质量为 m 的物体受到合力 (ΣF) 的作用，则该物体将以一定的加速度 (a) 做直线运动。合力、质量和加速度之间的关系可以用以下公式表示：

Σ F = ma

这是牛顿第二定律的方程式。

与直线运动中的合力 (ΣF) 相对应的旋转运动量是合力矩 (Στ)。与直线运动中的质量 (m) 相对应的旋转运动量是转动惯量 (I)。与直线运动中的加速度 (a) 相对应的旋转运动量是角加速度 (α)。

如果一个具有一定转动惯量 (I) 的物体受到合力矩 (Στ) 的作用，则该物体将以一定的角加速度 (α) 旋转。合力矩、转动惯量和角加速度之间的关系可以用以下公式表示：

Στ = I α

这个方程是牛顿第二定律的旋转类比。

4.2 牛顿第二定律关于转动的例子

例题1.

一个质量为 1 kg、半径为 10 cm 的实心滑轮，边缘缠绕着一根绳子，绳子的一端悬挂着一个 1 kg 的重物。假设绳子的质量忽略不计。求重物自由下落时的加速度大小。（g = 10 m/s²）²)

解决方案：

已知：

F = w = mg = (1 kg)(10 m/s² ⁾ = 10 N

r = 0.1 米

需求：加速负载

解决方案：

首先，计算转动惯量和力矩。

实心滑轮的转动惯量：

I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2 (1 kg)(0.1 m) ²

I = (0.5 kg)(0.01 m ² ) = 0.005 kg m ²

力矩：

τ = F l = (10 N)(0.1 m) = 1 N m

角加速度：

负载加速度：

a = r α = (0.1)(200) = 20 m/s ²

例题2.

一个质量为 2M、半径为 R 的实心滑轮，边缘缠绕着一根绳子，绳子的一端悬挂着质量为 m 的重物。当移除重物时，滑轮以角加速度旋转。如果将滑轮连接到一个质量为 M 的物体上，使得滑轮以相同的角加速度旋转，求该重物的质量。（滑轮的惯性矩 I = 1⁄2 ^MR²）

解决方案：

已知：

实心滑轮的质量：2M

实心滑轮的半径：R

负载质量：m

需求量：负载质量

解决方案：

计算实心滑轮在连接质量为 M 的物体前后的转动惯量：

转动惯量 1：I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M)(R) ² = MR ²

转动惯量 2：I = 1⁄2 mr ² = 1⁄2

(2M + M)(R) ² = 1⁄2 (3M)(R) ² = 1.5 MR ²

负载作用在滑轮上的力矩：

τ = F l = (m)(g)(R)

滑轮的角加速度在连接质量为 M 的物体之前和之后保持不变。

负载质量 = 原负载质量的 1.5 倍。