30 等压热力学过程——问题与解决方案
1. 下图所示的PV图表明，理想气体经历一个等压过程。计算气体在过程AB中所做的功。
已知：
压力(P) = 5 × 10⁵ N / m²
初始体积（V1 ） = 2 m³
最终体积（V₂ ） = 6立方米
招聘：工作（W）
解决方案：
W = P (V 2 – V 1 )
W = (5 x 10 5 )(6 – 2) = (5 x 10 5 ) (4)
瓦特 (W) = 20 × 10⁵ = 2 × 10⁶焦耳
2. 气体在过程AB和过程CD中所做的功有何不同？
已知：
等压过程AB：
压力 (P) = 6 atm = 6 × 10⁵ N / m²
初始体积 (V1 ) = 1 升 = 1 立方分米= 1 × 10⁻³立方米
最终体积 (V₂ ) = 3 升 = 3 立方分米= 3 × 10⁻³立方米
等压过程 CD：
压力 (P) = 4 atm = 4 × 10⁵ N / m²
初始体积 (V1 ) = 2 升 = 2 立方分米= 2 × 10⁻³立方米
最终体积 (V₂ ) = 5 升 = 5 立方分米= 3 × 10⁻³立方米
求：过程 AB 和 CD 中气体所做的功的差值。
解决方案：
过程 AB 中气体做功：
W = P (V 2 – V 1 )
W = (6 x 10 5 )(3 x 10 -3 – 1 x 10 -3 )
W = (6 x 10 5 )(2 x 10 -3 )
瓦特 (W) = 12 × 10² = 1200 焦耳
过程 CD 中的气体做了功：
W = P (V 2 – V 1 )
W = (4 x 10 5 )(5 x 10 -3 – 2 x 10 -3 )
W = (4 x 10 5 )(3 x 10 -3 )
瓦特 (W) = 12 × 10² = 1200 焦耳
过程 AB 和 CD 中气体所做的功之差 = 1200 – 1200 = 0。
3. 在工艺ABC中，气体所做的功是……
已知：
压力 1 (P1 ) = 6 × 10⁵ Pa = 6 × 10⁵ N / m²
压力2 (P2 ) = 3 × 10⁵ Pa = 3 × 10⁵ N / m²
体积 1 (V₂ ) = 2 cm³ = 2 × 10⁻⁶ m³
体积 2 (V₂ ) = 6 cm³ = 6 × 10⁻⁶ m³
需求：工作正在ABC流程中完成。
解决方案：
在过程 AB 中，体积保持恒定，因此气体不做功。
BC过程中气体做了功。
W = P 2 (V 2 – V 1 )
W = (3 x 10 5 )(6 x 10 -6 – 2 x 10 -6 )
W = (3 x 10 5 )(4 x 10 -6 )
W = 12 x 10 -1
W = 1.2 焦耳
ABC 过程中所做的功 = AB 过程中所做的功 = 1.2 焦耳。
4. 确定 2 摩尔理想气体在 300 K 下进行等压膨胀时的内能变化，其中 \(\Delta V = 1\ \text{m}^3\)。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T\)，其中 \(C_v = \frac{R}{\gamma-1}\)（对于单原子理想气体，\(\gamma = \frac{5}{3}\)）和 \(\Delta T = \frac{P\Delta V}{nR}\)，\(\Delta U = \frac{2\cdot 300 \cdot 1}{\frac{5}{3}-1} \approx 1800\ \text{J}\)。
5. 计算等压过程中的热传递，其中 1 摩尔双原子理想气体膨胀，\(C_p = \frac{7}{2}R\)，\(\Delta T = 50\ \text{K}\)。
解：\(Q = nC_p\Delta T = \frac{7}{2} \cdot 50 \cdot R \approx 1750\ \text{J}\) (使用 \(R = 8.314\ \text{J/(mol·K)}\))。
6. 求等压膨胀系统所做的功，\(P = 3\ \text{atm}\), \(\Delta V = 4\ \text{L}\)。
解：\(W = P\Delta V = 3 \times 4 = 12\ \text{L·atm}\).
7. 确定等压过程中 2 摩尔理想气体温度变化 20 K 的熵变。使用 \(C_p = \frac{5}{2}R\)。
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = 2 \cdot \frac{5}{2}R \cdot \ln\frac{T_1+20}{T_1}\).
8. 计算单原子理想气体等压压缩的热传递，\(C_p = \frac{5}{2}R\), \(\Delta T = -10\ \text{K}\)。
解：\(Q = nC_p\Delta T = \frac{5}{2} \cdot (-10) \cdot R \approx -415\ \text{J}\).
9. 求等压过程中系统所做的功，其中 \(P = 5\ \text{bar}\), \(\Delta V = -3\ \text{m}^3\).
解：\(W = P\Delta V = 5 \times (-3) = -15\ \text{bar m}^3\).
10. 确定等压过程中内能的变化，其中 \(n = 3\ \text{mol}\), \(C_v = 3R\), \(\Delta T = 25\ \text{K}\).
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 3 \cdot 3R \cdot 25 \approx 1883\ \text{J}\).
11. 计算双原子理想气体在等压过程中的熵变，\(n = 1\ \text{mol}\), \(\Delta T = 40\ \text{K}\), \(T_1 = 300\ \text{K}\)。
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = \frac{7}{2}R\ln\frac{340}{300}\).
12. 求等压膨胀中的热传递，\(P = 2\ \text{atm}\), \(\Delta V = 3\ \text{L}\), \(C_p = \frac{7}{2}R\).
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 2 \times 3 + \frac{7}{2}R\Delta T\).
13. 求等压过程中所做的功，已知 \(P = 4\ \text{bar}\), \(\Delta V = 5\ \text{m}^3\).
解：\(W = P\Delta V = 4 \times 5 = 20\ \text{bar m}^3\).
14. 计算等压压缩的内能变化，\(n = 2\ \text{mol}\), \(C_v = \frac{3}{2}R\), \(\Delta T = -30\ \text{K}\)。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 2 \cdot \frac{3}{2}R \cdot (-30) \approx -753\ \text{J}\).
15. 求等压过程中的熵变，\(n = 1.5\ \text{mol}\), \(\Delta T = 60\ \text{K}\), \(T_1 = 400\ \text{K}\), \(C_p = \frac{5}{2}R\).
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = 1.5 \cdot \frac{5}{2}R\ln\frac{460}{400}\).
16. 确定等压膨胀的热传递，\(P = 3\ \text{bar}\), \(\Delta V = 2\ \text{m}^3\), \(C_p = \frac{5}{2}R\), \(n = 2\ \text{mol}\).
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 3 \times 2 + 2 \cdot \frac{5}{2}R\Delta T\).
17. 计算 3 摩尔气体在等压压缩下所做的功，\(P = 5\ \text{atm}\), \(\Delta V = -4\ \text{L}\)。
解：\(W = P\Delta V = 5 \times (-4) = -20\ \text{L·atm}\).
18. 确定等压过程中 \(n = 4\ \text{mol}\), \(C_v = \frac{7}{2}R\), \(\Delta T = 15\ \text{K}\) 的内能变化。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 4 \cdot \frac{7}{2}R \cdot 15 \approx 3157\ \text{J}\).
19. 求等压过程中的热传递，\(P = 4\ \text{atm}\), \(\Delta V = 5\ \text{L}\), \(n = 2\ \text{mol}\), \(C_p = \frac{5}{2}R\).
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 4 \times 5 + 2 \cdot \frac{5}{2}R\Delta T\).
20. 确定等压压缩中所做的功，\(P = 7\ \text{bar}\), \(\Delta V = -2\ \text{m}^3\)。
解：\(W = P\Delta V = 7 \times (-2) = -14\ \text{bar m}^3\).
21. 计算 3 摩尔理想气体在等压过程中的内能变化，\(C_v = \frac{5}{2}R\), \(\Delta T = 20\ \text{K}\)。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 3 \cdot \frac{5}{2}R \cdot 20 \approx 1256\ \text{J}\).
22. 求等压膨胀的熵变，\(n = 1\ \text{mol}\), \(C_p = \frac{7}{2}R\), \(\Delta T = 30\ \text{K}\), \(T_1 = 250\ \text{K}\).
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = \frac{7}{2}R\ln\frac{280}{250}\).
23. 确定等压过程中的热传递，\(P = 6\ \text{bar}\), \(\Delta V = 4\ \text{m}^3\), \(n = 3\ \text{mol}\), \(C_p = \frac{3}{2}R\).
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 6 \times 4 + 3 \cdot \frac{3}{2}R\Delta T\).
24. 计算系统在等压膨胀中所做的功，其中 \(P = 8\ \text{bar}\), \(\Delta V = 3\ \text{m}^3\)。
解：\(W = P\Delta V = 8 \times 3 = 24\ \text{bar m}^3\).
25. 确定等压过程的内能变化，其中 \(n = 2\ \text{mol}\), \(C_v = \frac{7}{2}R\), \(\Delta T = -10\ \text{K}\).
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 2 \cdot \frac{7}{2}R \cdot (-10) \approx -878\ \text{J}\).
26. 求双原子理想气体在等压压缩下的熵变，\(n = 1.5\ \text{mol}\), \(T_1 = 350\ \text{K}\), \(\Delta T = -40\ \text{K}\).
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = 1.5 \cdot \frac{7}{2}R\ln\frac{310}{350}\).
27. 确定 2 摩尔气体在等压膨胀过程中的热传递，\(P = 5\ \text{bar}\), \(\Delta V = 6\ \text{m}^3\), \(C_p = \frac{5}{2}R\)。
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 5 \times 6 + 2 \cdot \frac{5}{2}R\Delta T\).
28. 计算在等压压缩下，系统所做的功，其中 \(P = 9\ \text{atm}\), \(\Delta V = -3\ \text{L}\)。
解：\(W = P\Delta V = 9 \times (-3) = -27\ \text{L·atm}\).
29. 确定 3 摩尔气体在等压过程中的内能变化，\(C_v = \frac{3}{2}R\), \(\Delta T = 15\ \text{K}\)。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 3 \cdot \frac{3}{2}R \cdot 15 \approx 564\ \text{J}\).
30. 求等压膨胀中的熵变，\(n = 4\ \text{mol}\), \(C_p = \frac{5}{2}R\), \(\Delta T = 25\ \text{K}\), \(T_1 = 300\ \text{K}\).
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 \cdot \frac{5}{2}R\ln\frac{325}{300}\).
