11 个旋转动力学问题示例
时尚瞬间
1.一根很轻的杆，长 140 厘米。三个力作用在该杆上，分别为 F1 = 20 牛顿，F2 = 10 牛顿和 F3 = 40 牛顿，每个力的方向和位置如图所示。使杆绕其质心旋转的力矩的大小为……
A. 40 牛米
B. 39 海里
C. 28 牛米
D. 14 牛米
东 3 海里
讨论
已知：
杆的质心位于杆的中间。
杆的长度 (l) = 140 厘米 = 1,4 米
力 1 (F 1 ) = 20 N，力臂 1 (l 1 ) = 70 cm = 0,7 米
力 2 (F₂ ) = 10 N，力 2 的臂长 (l₂ ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0,3 米
力 3 (F 3 ) = 40 N，力臂 3 (l 3 ) = 70 cm = 0,7 米
问题：使杆绕其质心旋转的力矩的大小是多少？
回答 ：
力矩1使杆顺时针旋转。因此，力矩1为负值。
τ₃ = F₃l₃ = ( 20 N)(0,7 m) = -14 N · m
力矩2使杆逆时针旋转。因此，力矩2为正值。
τ₂ = F₂l₂ = ( 10 N)(0,3 m) = 3 N · m
力矩3使杆顺时针旋转。因此，力矩3为负值。
τ₃ = F₃l₃ = ( 40 N)(0,7 m) = -28 N · m
合力矩：
Στ = -14 牛米 + 3 牛米 – 28 牛米 = – 42 牛米 + 3 牛米 = -39 牛米
力矩的大小为 39 牛顿米。负号表示杆逆时针旋转。
正确答案是 B。
2.杆AB（质量忽略不计）水平放置，并受到如图所示的三个力的作用。当杆绕D点旋转时，作用在杆上的合力矩为…（sin 53 ° = 0,8）
A. 2,4 牛米
B. 2,6 牛米
C. 3,0 牛米
D. 3,2 牛米
E. 3,4 牛米
讨论
已知：
旋转轴或枢轴位于 D 点。
F 1 = 10 N 且 l 1 = r 1 sin θ = (40 cm)(sin 53 o ) = (0,4 m)(0,8) = 0,32 米
F 2 = 10√2 N 且 l 2 = r 2 sin θ = (20 cm)(sin 45 o ) = (0,2 m)(0,5√2) = 0,1√2 米
F 3 = 20 N 且 l 3 = r 1 sin θ = (10 cm)(sin 90 o ) = (0,1 m)(1) = 0,1 米
问：合力矩
回答：
τ 1 = F 1 l 1 = (10 N)(0,32 m) = 3,2 Nm
（正值，因为该力矩会使物体逆时针旋转）
τ 1 = F 2 l 2 = (10√2 N)(0,1√2 m) = -2 Nm
（为负值，因为该力矩会导致物体顺时针旋转）
τ 1 = F 2 l 2 = (20 N)(0,1 m) = 2 Nm
（正值，因为该力矩会使物体逆时针旋转）
合力矩：
Στ = τ 1 – τ 1 + τ 3
Στ = 3,2 Nm – 2 Nm + 2 Nm
Στ = 3,2 牛米
正确答案是D。
3.杆AB（质量忽略不计）水平放置，并受到如图所示的三个力的作用。当杆绕D点旋转时，作用在杆上的合力矩为…（sin 53 ° = 0,8）
A. 2,4 牛米
B. 2,6 海里
C. 3,0 牛米
D. 3,2 牛米
东 3,4 海里
讨论
已知：
旋转轴位于 D 点。
F1与旋转轴之间的距离( rAD ) = 40 厘米 = 0,4 米
F2与旋转轴之间的距离( rBD ) = 20 厘米 = 0,2 米
F3与旋转轴之间的距离( rCD ) = 10 厘米 = 0,1 米
F1 = 10牛顿
F2 = 10√2牛顿
F3 = 20牛顿
sin 53 ° = 0,8
问题：若杆绕D点轴线旋转，合力矩是多少？
回答：
计算每个力产生的力矩。
力矩 1
Στ 1 = (F 1 )(r AD sin 53 o ) = (10 N)(0,4 m)(0,8) = 3,2 Nm
力矩 1 为正，因为力矩 1 引起的杆的旋转方向是逆时针方向。
力矩 2
Στ 2 = (F 2 )(r BD sin 45 o ) = (10√2 N)(0,2 m)(0,5√2) = -2 Nm
力矩 2 为负值，因为力矩 2 引起的杆的旋转方向与时钟指针的旋转方向相同。
力矩 3
Στ 3 = (F 3 )(r CD sin 90 o ) = (20 N)(0,1 m)(1) = 2 Nm
力矩 3 为正，因为力矩 3 引起的杆的旋转方向是逆时针方向。
合力矩
Στ = Στ 1 + Στ 2 + Στ 3
Στ = 3,2 – 2 + 2
Στ = 3,2 牛顿米
正确答案是D。
转动惯量
4.考虑由一根导线连接的两个小球的图像。导线的长度为 12 米，l₁ = 4 米，导线的质量忽略不计，因此该系统的转动惯量大小为……
A. 52,6 kg m2
B. 41,6 kg m 2
C. 34,6 kg m 2
D. 22,4 kg m 2
E. 20,4 kg m 2
讨论
已知：
球 A 的质量 (m A ) = 0,2 kg
球 B 的质量 (m<sub> B</sub> ) = 0,6 kg
球A到旋转轴的距离（r<sub> A</sub>）= 4米
球 B 到旋转轴的距离 (r_B ) = 12 – 4 = 8 米
问题：系统的转动惯量（I）
回答：
球A的转动惯量
I A = (m A )(r A 2 ) = (0,2)(4) 2 = (0,2)(16) = 3,2 kg m 2
球B的转动惯量
I B = (m B )(r B 2 ) = (0,6)(8) 2 = (0,6)(64) = 38,4 kg m 2
质点系统的转动惯量：
I = I A + I B = 3,2 + 38,4 = 41,6 千克·米2
正确答案是 B。
牛顿第二定律（转动定律）
5.观察侧视图中均匀实心轮子的图像。一根绳子缠绕在轮子的边缘，然后用 6 N 的力 F 拉动绳子的一端。如果轮子的质量为 5 kg，半径为 20 cm，则轮子的角加速度为……
A. 0,12 rad s - 2
B. 1,2 rad s⁻²
C. 3,0 rad s⁻²
D. 6,0 rad s⁻²
E. 12,0 rad s –2
讨论
已知：
拉力 (F) = 6 牛顿
车轮质量 (M) = 5 kg
车轮半径 (R) = 20 厘米 = 20/100 米 = 0,2 米
问题：车轮的角加速度（α）
回答 ：
计算力矩：
τ = FR = (6 牛顿)(0,2 米) = 1,2 牛顿米
计算转动惯量：
圆盘或板状实心轮的转动惯量公式为 1/2 MR 2 = 1/2 (5 kg)(0,2 m) 2 = 1/2 (5 kg)(0,04 m 2 ) = 1/2 (0,2) = 0,1 kg m 2。
利用旋转动力学公式计算角加速度：
τ = 我α
α = τ / I = 1,2 / 0,1 = 12 rad·s -2
正确答案是 E。
6.一个质量为 8 kg、半径为 10 cm 的实心圆盘滑轮缠绕在一根绳子的边缘，绳子的一端系着一个 4 kg 的重物（g = 10 m/ s²）。重物向下运动的加速度为……
A. 2,5毫秒–2
B. 5,0 毫秒–2
C. 10,0 毫秒–2
D. 20,0 毫秒–2
E. 33,3 毫秒–2
讨论
已知：
实心圆盘滑轮的质量 (m) = 8 kg
实心圆盘滑轮半径 (r) = 10 厘米 = 0,1 米
负载质量 (m) = 4 kg
重力加速度 (g) = 10 m/ s²
载荷重量 (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ) = 40 kg m/s² = 40 牛顿
问题：负载向下运动的加速度
回答 ：
计算实心圆盘的转动惯量：
I = 1/2 MR² = 1/2 (8 kg)(0,1 m) ² = (4 kg)(0,01 m² ) = 0,04 kg m²
计算力矩：
τ = F r = (40 N)(0,1 m) = 4 Nm
利用牛顿第二定律公式计算旋转运动的角加速度：
Στ = I α
4 = 0,04 α
α = 4 / 0,04 = 100
计算重物向下运动的加速度：
a = r α = (0,1)(100) = 10 m/s 2
正确答案是C。
7.如图所示，一个质量为 M、半径为 R 的实心滑轮！一根无质量绳子的一端缠绕在滑轮上，绳子的另一端悬挂着质量为 m kg 的重物。如果释放重物，滑轮的角加速度为 (α)。如果将一块质量为 1/2 M 的橡皮泥 A 连接到滑轮上，为了产生相同的角加速度，重物必须……（滑轮的惯性矩 = 1/2 MR² ）
A. 3/4 米千克
B. 3/2 米千克
C. 2米千克
D. 3 米千克
E. 4 米千克
讨论
已知：
负载质量 = m
载荷重量 = w = mg
实心滑轮的质量 = M
实心滑轮半径 = R
滑轮的角加速度 = α
问：
如果滑轮的质量增加到 M + M/2 = 3M/2，滑轮的角加速度为 α，那么负载的质量是多少？
回答：
不含橡皮泥的滑轮转动惯量：
I = 1/2 MR 2 = 0,5 MR 2
滑轮+橡皮泥的转动惯量：
I = 1/2 (3M/2) R 2 = (3M/4) R 2 = 0,75M R 2
力矩：
τ = FR
牛顿第二旋转运动定律：
Στ = I α
w R = I α
mg R = I α
α = mg R / I
为了产生相同的角加速度，负载的质量必须……将公式 2 中的 α 替换为公式 1 中的 α：
正确答案是 B。
8.如图所示，一个由实心物体制成的滑轮，其外侧缠绕着一根绳子。忽略滑轮与绳子之间的摩擦以及滑轮在其旋转轴线上的摩擦。如果负载以恒定加速度 a ms⁻² 向下运动，则滑轮的转动惯量等于……
A. I = τ α R
B. I = τ α -1 R
C. I = τ a R
D. I = τ a -1 R -1
E. I = τ a R -1
讨论
已知：
力 = w = mg
力臂 = R
角加速度 = α
负载加速度 = a ms⁻²
问题：滑轮的转动惯量（I）
回答 ：
线加速度和角加速度之间的关系：
a = R α
α=a/R
转动惯量用以下公式计算：
τ = 我α
I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a -1
没有正确答案。
9.如图所示，一个由实心物体制成的滑轮，其外侧缠绕着一根绳子。忽略滑轮的摩擦力。如果滑轮的转动惯量 I = β，绳子受到恒力 F 的拉动，那么 F 的值等于……
A. F = α . β . R 
B. F = α . β 2 . R
C. F = α . (β . R) -1
D. F = α . β . (R) -1
E. F = R . (α . β) -1
讨论
已知：
拉力 = F
滑轮的转动惯量 = β
滑轮的角加速度 = α
滑轮半径 = R
问题： F 的值等于……
回答 ：
牛顿第二定律关于旋转运动的公式：
Στ = β α --- 公式 1
配方说明：
Στ = 合力矩（扭矩）
β = 转动惯量
α = 角加速度
作用在滑轮上的合力矩：
Στ = FR ———-> 公式 2
配方说明：
F = 拉力
R = 力 F 的作用点到旋转轴的距离 = 滑轮半径
将等式 1 中的 Στ 替换为等式 2 中的 Στ：
Στ = β . α
F.R = β.α
F = (β . α) / R
F = β . α . (R -1 )
正确答案是D。
角动量
10.一个质量为 0,2 克的粒子以10 rad s⁻¹ 的恒定角速度做圆周运动。如果粒子运动路径的半径为 3 厘米，那么该粒子的角动量为……
A. 3 × 10 –7 kg m 2 s -1
B. 9 × 10 –7 kg m 2 s -1
C. 1,6 × 10 –6 kg m 2 s -1
D. 1,8 × 10 –4 kg m 2 s -1
E. 4,5 × 10 –3 kg m 2 s -1
讨论
已知：
粒子质量 (m) = 0,2 克 = 2 × 10⁻⁴千克
角速度 (ω) = 10 rad s -1
粒子路径半径 (r) = 3 厘米 = 3 × 10⁻²米
问：粒子的角动量
回答 ：
角动量公式：
L = I ω
说明：I = 角动量，I = 转动惯量，ω = 角速度
质点的转动惯量：
I = mr² = (2 × 10⁻⁴ ) (3 × 10⁻² ) ² = (2 × 10⁻⁴ )(9 × 10⁻⁴ ) = 18 × 10⁻⁸
角动量是：
L = I ω = (18 x 10 -8 )(10 rad s -1 ) = 18 x 10 -7 kg m 2 s -1
没有正确答案。
11.一位舞者双臂伸展至160厘米处旋转。然后，她将双臂在肘部弯曲，使之长度为80厘米。如果舞者的角速度保持不变，那么她的线动量为……
A. 仍然
B. 变为原尺寸的一半
C. 变为原尺寸的 3/4
D 变为原来的 2 倍
E 变为原来的 4 倍
讨论
已知：
半径 1 (r₂ ) = 160 厘米
半径 2 (r₂ ) = 80 厘米
角速度 1 (ω 1 ) = ω
角速度 1 (ω 2 ) = ω
问：线性动量
回答 ：
线速度 1：
v² = r²ω² = (160 cm ) ω
线速度 2：
v² = r²ω² = (80 cm ) ω
线性动量 1：
p = mv 1 = m (160 cm) ω
线性动量 2：
p = mv 2 = m (80 cm) ω
因此，线动量变为原来的 1/2。
正确答案是 B。
问题来源：
高中/职业高中国家考试物理试题
