ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק פאָרמולע

ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק פאָרמולע: דעפֿיניציע, פאָרמולע און אַפּליקאַציע

ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק איז אַ צווייַג פון מעכאַניק וואָס שטודירט די ראָטאַציאָנעלע באַוועגונג פון אָביעקטן און די כוחות וואָס פאַראורזאַכן אָדער השפּעה האָבן אויף יענע באַוועגונג. עס איז ענלעך צו טראַנסלאַציאָנעלע דינאַמיק, וואָס שטודירט די באַוועגונג פון אָביעקטן אין אַ גלייכער ליניע. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן די דעפֿיניציע פון ​​ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק, די פֿאָרמולעס פֿאַרבונדן מיט ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק, און עטלעכע ביישפילן פון אירע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיק לעבן און טעכנאָלאָגיע.

פֿאַרשטיין ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק

ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק איז די שטודיע פון ​​ווי אָביעקטן דרייען זיך אַרום אַ פּונקט אָדער אַקס. שליסל קאָנצעפּטן אין ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק אַרייַננעמען טאָרק, מאָמענט פון אינערציע, ווינקל פון ראָטאַציע, ווינקל גיכקייט, און ווינקל אַקסעלעריישאַן. די זענען ענלעך צו קראַפט, מאַסע, דיספּלייסמאַנט, גיכקייט, און אַקסעלעריישאַן אין טראַנסליישאַנאַל דינאַמיק.

עטלעכע שליסל קאנצעפטן אין ראָוטיישאַנאַל דינאַמיק זענען:

– דריימאָמענט (τ): די קראַפט וואָס פאַראורזאַכט ראָטאַציע. דאָס איז דער ראָטאַציאָנעלער אַנאַלאָג פון דער קראַפט אין טראַנסלאַציאָנעלער דינאַמיק.
– מאָמענט פון אינערציע (I): אַן אָביעקט'ס קעגנשטעל צו ענדערונגען אין זיין ראָטאַציע גיכקייט, ענלעך צו מאַסע אין טראַנסלאַציאָנאַלער באַוועגונג.
– ווינקל־געשווינדיקייט (ω): די ראטע פון ​​ענדערונג פון דעם ווינקל פון ראָטאַציע, ענלעך צו דער שנעלקייט אין טראַנסלאַציאָנאַלער באַוועגונג.
– ווינקל־אַקסעלעראַציע (α): די ראַטע פון ​​ענדערונג פון ווינקל־געשווינדיקייט, ענלעך צו אַקסעלעראַציע אין טראַנסלאַציאָנאַלער באַוועגונג.

ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק פאָרמולעס

1. דריימאָמענט (τ)

דריימאָמענט איז אַ ראָטאַציע קראַפט וואָס ווירקט אויף אַן אָביעקט און פאַראורזאַכט עס צו דרייען זיך. די פאָרמולע פֿאַר דריימאָמענט איז:

[טאַו = r × F סינוס(טהעטאַ)]

וואו:
– \( \tau \) איז דער דריימאָמענט,
– \(r \) איז די דיסטאַנץ פֿון דעם פּונקט פֿון ראָטאַציע ביזן אָרט וואו די קראַפט ווערט אָנגעווענדט,
– \(F \) איז די אנגעווענדטע קראַפט,
– \( \theta \) איז דער ווינקל צווישן דער ליניע פון ​​אַקציע פון ​​דער קראַפט און דער ליניע וואָס פֿאַרבינדט דעם פּונקט פון ראָטאַציע מיטן פּונקט פון אַפּליקאַציע פון ​​דער קראַפט.

2. מאָמענט פון אינערציע (I)

דער מאָמענט פון אינערציע איז אַ מאָס פון אַן אָביעקט'ס קעגנשטעל צו ענדערונגען אין זיין ראָטאַציע גיכקייט. די אַלגעמיינע פאָרמולע פֿאַר דעם מאָמענט פון אינערציע איז:

\[ איך = \sum m_i r_i^2 \]

וואו:
– \(I \) איז דער מאָמענט פון אינערציע,
– \(m_i \) איז די מאַסע פֿון די קליינע עלעמענטן פֿונעם אָביעקט,
– \(r_i \) איז די דיסטאַנץ פון דעם קליינעם עלעמענט פֿון דער ראָטאַציע אַקס.

פֿאַר אָביעקטן מיט געוויסע פֿאָרמען, האָט דער מאָמענט פֿון אינערציע אַ ספּעציעלע פֿאָרמולע, ווי צום ביישפּיל:

– דינע שטאנג דרייט זיך ביים עק: \( I = \frac{1}{3} mL^2 \)
– דער האַרטער צילינדער דרייט זיך אַרום דעם צענטער: \( I = \frac{1}{2} mR^2 \)
– דער האַרטער באַל דרייט זיך אַרום דעם צענטער: \( I = \frac{2}{5} mR^2 \)

3. ראָטאַציאָנעלע באַוועגונג גלייכונג

די גלייכונג פון ראָטאַציאָנעלער באַוועגונג איז ענלעך צו ניוטאָן'ס צווייטן געזעץ פֿאַר טראַנסלאַציאָנעלער באַוועגונג, אָבער געווענדט צו ראָטאַציע:

\[ \tau = I \alpha \]

וואו:
– \( \tau \) איז דער דריימאָמענט,
– \(I \) איז דער מאָמענט פון אינערציע,
– \( \alpha \) איז די ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע.

4. ראָטאַציאָנעלע קינעטיק ענערגיע

ראָטאַציאָנעלע קינעטישע ענערגיע איז די ענערגיע וואָס אַ ראָטירנדיקער אָביעקט פאַרמאָגט. די פאָרמולע פֿאַר ראָטאַציאָנעלע קינעטישע ענערגיע איז:

\[E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 \]

וואו:
– \(E_k \) איז די ראָטאַציאָנעלע קינעטישע ענערגיע,
– \(I \) איז דער מאָמענט פון אינערציע,
– \( \omega \) איז די ווינקל־געשווינדיקייט.

5. ווינקל מאָמענטום (L)

ווינקל מאָמענטום איז דער ראָטאַציע אַנאַלאָג פון לינעאַר מאָמענטום. די פאָרמולע פֿאַר ווינקל מאָמענטום איז:

\[ ל = 1 Ω \]

וואו:
– \(L \) איז דער ווינקל מאָמענטום,
– \(I \) איז דער מאָמענט פון אינערציע,
– \( \omega \) איז די ווינקל־געשווינדיקייט.

6. געזעץ פון קאנסערוואציע פון ​​ווינקל מאָמענטום

דער געזעץ פון קאנסערוואציע פון ​​ווינקל מאָמענטום זאגט אז אויב קיין עקסטערנער דריימאָמענט ווירקט נישט אויף א סיסטעם, בלייבט דער ווינקל מאָמענטום פון דער סיסטעם קאָנסטאַנט. דאָס איז ענלעך צום געזעץ פון קאנסערוואציע פון ​​לינעאַרער מאָמענטום אין טראַנסלאַציאָנאַלער דינאַמיק.

\[ L_{\text{אָנהייב}} = L_{\text{סוף}} \]
\[ I_{\text{start}} \omega_{\text{start}} = I_{\text{end}} \omega_{\text{end}} \]

ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק אַפּליקאַציע

1. ווינטמיל

ווינטמילן ניצן די פּרינציפּן פון ראָטאַציאָנעלער דינאַמיק צו פאַרוואַנדלען ווינט ענערגיע אין מעכאַנישע ענערגיע. ווינטמיל בליידז דרייען זיך צוליב דעם דריימאָמענט וואָס ווערט גענערירט דורך דעם ווינט וואָס שלאָגט זיי. דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​די בליידז באַשטימט ווי זיי אַקסעלערירן און רירן זיך.

2. גיראָסקאָפּ

א גיראָסקאָפּ איז אַ מיטל וואָס ניצט די פּרינציפּן פון ראָטאַציאָנעלער דינאַמיק צו האַלטן די אָריענטאַציע. דער הויכער מאָמענט פון אינערציע פון ​​די גיראָסקאָפּ'ס שנעל ראָטירנדיקע רעדער סטאַביליזירט עס און האַלט זיין פּאָזיציע טראָץ עקסטערנע שטערונגען. עס ווערט גענוצט אין אַ פאַרשיידנקייט פון אַפּליקאַציעס, אַרייַנגערעכנט פליגער נאַוויגאַציע און סמאַרטפאָון נאַוויגאַציע.

3. מאָטאָריזירטע וועהיקלעס

אין מאָטאָר־פֿאָרמיטלען דרייען זיך די רעדער צו שטופן דאָס פֿאָרמיטל. דער דריימאָמענט וואָס ווערט גענערירט דורך דעם מאָטאָר ווערט איבערגעגעבן צו די רעדער דורך דער טראַנסמיסיע. ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק איז אויך באַטייַטיק אין מאָטאָר און סאַספּענשאַן סיסטעם פּלאַן, וואו דער מאָמענט פֿון אינערציע שפּילט אַ קריטישע ראָלע אין פֿאָרמיטל פאָרשטעלונג און עפֿעקטיווקייט.

4. אלימפישע שפילן

אין פילע ספּאָרטן, זענען ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק קריטיש וויכטיק. למשל, אין גימנאַסטיק, פירן אַטלעטן אויס טוויסטן און סאַמערסאָלטס, וואָס אַרייַננעמען טאָרק, מאָמענט פון אינערציע, און ווינקל מאָמענטום. אַטלעטן מוזן אַדזשאַסטירן זייער קערפּער פּאָזיציע צו ענדערן דעם מאָמענט פון אינערציע און קאָנטראָלירן זייער באַוועגונג בעת דעם טוויסט.

5. ראָולער קאָוסטער

ראָולער קאָוסטערס נוצן די פּרינציפּן פון ראָטאַציאָנעלע דינאַמיק אין זייערע שלייף און דריי דיזיינז. טאָרק און מאָמענט פון אינערציע השפּעה ווי אַ ראָולער קאָוסטער אַקסעלערירט און דרייט זיך אַרום די רעלס. געהעריק דיזיין גאַראַנטירט אַ גלאַט און זיכער ראָולער קאָוסטער פאָר.

בייַשפּיל פון ראָטאַציאָנעל דינאַמיק קאַלקולאַציע

בייַשפּיל 1: קאַלקולירן דריימאָמענט

לאָמיר זאָגן אַז אַ ראָד מיט אַ ראַדיוס פֿון 0.5 מעטער דרייט זיך ווען אַ קראַפֿט פֿון 10 ניוטאָן ווערט אַפּליצירט אין אַ פּונקט אויף דער ראַם פֿון ראָד, פּערפּענדיקולאַר צום ראַדיוס. וואָס איז דער רעזולטאַט דריימאָמענט?

ניצן די טאָרק פאָרמולע:

\[ \טאַו = r \מאַל F \]
[טאַו = 0.5, מ׳ מאָל 10, נ]
\[ \tau = 5 \, \text{Nm} \]

אַזוי, דער פּראָדוצירטער טאָרק איז 5 ניוטאָן מעטער.

בייַשפּיל 2: קאַלקולירן מאָמענט פון אינערציע

לאָמיר זאָגן אַז אַ דין שטאַנג מיט אַ מאַסע פֿון 2 ק"ג און אַ לענג פֿון 1 מעטער דרייט זיך אַרום זײַן עק. וואָס איז דער מאָמענט פֿון אינערציע פֿון דער שטאַנג?

ניצן די מאָמענט פון אינערציע פאָרמולע פֿאַר אַ דין שטאַנג וואָס דרייט זיך אַרום זיין עק:

[I = \frac{1}{3} mL^2 \]
[I = \frac{1}{3} \times 2 \, \text{קילאָגראַם} \times (1 \, \text{מ})^2 \]
[I = \frac{2}{3} \, \text{kg} \text{m}^2 \]

אַלזאָ, דער מאָמענט פֿון אינערציע פֿון דער שטאַנג איז \(\frac{2}{3} \, \text{kg} \cdot \text{m}^2\).

בייַשפּיל 3: קאַלקולירן ראָטאַציאָנעלע קינעטיק ענערגיע

לאָמיר זאָגן אַז אַ פֿעסטער צילינדער מיט אַ מאַסע פֿון 5 ק"ג און אַ ראַדיוס פֿון 0.2 מעטער דרייט זיך מיט אַ ווינקל־געשווינדיקייט פֿון 10 ראַד/סעק. וואָס איז די ראָטאַציאָנעלע קינעטישע ענערגיע פֿונעם צילינדער?

ניצן די ראָטאַציאָנעלע קינעטישע ענערגיע פאָרמולע:

\[E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 \]

ערשטנס, רעכענען מיר אויס דעם מאָמענט פון אינערציע פֿאַר אַ האַרטן צילינדער וואָס דרייט זיך אַרום דעם צענטער:

\[I = \frac{1}{2} mR^2 \]
[I = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{קילאָגראַם} \times (0.2 \, \text{מ})^2 \]
[איך = 0.1, ק"ג מ²]

דערנאך, ניצן מיר דעם ווערט צו רעכענען די ראָטאַציאָנעלע קינעטישע ענערגיע:

[E_k = \frac{1}{2} \times 0.1 \, \text{קג} \cdot \text{m}^2 \times (10 \, \text{ראַד/ס})^2 \]
\[ E_k = \frac{1}{2} \times 0