מאָמענט פון ינערשאַ

1. מאָמענט פון אינערציע פון ​​די פּאַרטיקל

באַטראַכט אַ ראָטירנדיקע פּאַרטיקל. די פּאַרטיקל מיט מאַסע m באַקומט די קראַפט F אַזוי אַז די פּאַרטיקל דרייט זיך אַרום דער אַקס O. די פּאַרטיקל איז r אַוועק פון דער ראָטאַציע אַקס. ערשטנס, די פּאַרטיקל איז אין רו (v = 0). נאָך באַוועגונג דורך דער קראַפט פון F, די פּאַרטיקלען באַוועגן זיך מיט אַ געוויסער גיכקייט אַזוי אַז די פּאַרטיקלען האָבן אַ טאַנגענציעלע אַקסעלעראַציע. די באַציִונג צווישן קראַפט (F), מאַסע (m), און די טאַנגענציעלע אַקסעלעראַציע פון ​​פּאַרטיקלען ווערט אויסגעדריקט דורך גלייכונג 3:

F = ma _tan (גלייכונג 3)

די פּאַרטיקלעך דרייען זיך אַזוי אַז די פּאַרטיקלעך האָבן ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע. די באַציִונג צווישן טאַנגענציעלע אַקסעלעראַציע און ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע ווערט אויסגעדריקט דורך גלייכונג 4:

א _טאן = ר α (גלייכונג 4)

פאַרבייטן a אין גלייכונג 3 מיט a אין גלייכונג 4:

פֿ ​​= הער α

ר F = מר ² α

τ = (mr² ⁾ α (גלייכונג 5)

rF איז דער מאָמענט פון קראַפט און mr2 ^איז דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​דעם פּאַרטיקל. גלייכונג 5 באַשטימט די באַציִונג צווישן דעם מאָמענט פון קראַפט, דעם מאָמענט פון אינערציע, און די ווינקלדיקע אַקסעלעראַציע פון ​​ראָטירנדיקע פּאַרטיקלען. גלייכונג 5 איז די גלייכונג פון ניוטאָן'ס צווייטן געזעץ פֿאַר ראָטירנדיקע פּאַרטיקלען.

דער מאָמענט פון טרעגקייט פון אַ פּאַרטיקל איז דער פּראָדוקט פון דער מאַסע פון ​​דעם פּאַרטיקל (m) און דעם קוואַדראַט פון דער דיסטאַנץ צווישן פּאַרטיקלען מיט דער ראָטאַציע אַקס (r² ⁾.

איך = mr² ⁽ גלייכונג 6)

I = מאָמענט פון אינערציע פון ​​דעם פּאַרטיקל, m = מאַסע פון ​​דעם פּאַרטיקל, r = דיסטאַנץ צווישן דעם פּאַרטיקל און דער ראָטאַציע אַקס. גלייכונג 6 ווערט גענוצט צו באַשטימען דעם מאָמענט פון אינערציע פון ​​אַ פּאַרטיקל.

3.2 ביישפיל פראבלעמען פון דעם מאמענט פון אינערציע פון ​​דעם טיילכל

בייַשפּיל פּראָבלעם 1.

א טיילכל מיט א מאסע פון ​​2 ק"ג איז געבונדן געווארן צו א שטריק 0.5 מעטער לאנג און דערנאך דרייט זיך. וואס איז דער מאמענט פון אינערציע פון ​​טיילכלעך ווען זיי דרייען זיך?

לייזונג:

איך = הער ²

איך = (2 ק״ג) (0.5 מ״מ) ²

איך = 0.5 ק״ג ^מ²

בייַשפּיל פּראָבלעם 2.

צוויי פּאַרטיקלעך, יעדע מיט אַ מאַסע פון ​​2 ק"ג און 4 ק"ג, זענען פארבונדן דורך אַ לייכטן דראָט, וואו די דראָט לענג איז 2 מעטער. איגנאָרירט די מאַסע פון ​​דראָטן. באַשטימט דעם מאָמענט פון טרעגקייט פון די צוויי פּאַרטיקלעך, אויב:

א) די ראָטאַציע אַקס געפינט זיך צווישן די צוויי פּאַרטיקלען

לייזונג:

איך ⁼ _{m1 /} r12 + _{m2 /} r22^​

איך = (2)(12) + (4)(12)

איך = 2 + 4

איך = 6 ק״ג ^מ²

ב) די ראָטאַציע אַקס איז אין אַ דיסטאַנץ פון 0.5 מעטער פון דעם פּאַרטיקל מיט אַ מאַסע פון ​​2 קג

איך ⁼ _{m1 /} r12 + _{m2 /} r22^​

איך = (2)(0.5² ⁾ + (4)( ^1.5² )

איך = (2)(0.25) + (4)(2.25)

איך = 0.5 + 9

איך = 9.5 ק״ג ^מ²

ג) די ראָטאַציע אַקס איז אין אַ דיסטאַנץ פון 0.5 מעטער פון דעם פּאַרטיקל מיט אַ מאַסע פון ​​4 ק״ג

איך ⁼ _{m1 /} r12 + _{m2 /} r22^​

איך = (2)(1.52) + (4)( ^0.52 )

איך = (2)(2.25) + (4)(0.25)

איך = 4.5 + 1

איך = 5.5 ק״ג ^מ²

באַזירט אויף די רעזולטאַטן פון די אויבן דערמאָנטע חשבונות, ווערט דער מאָמענט פון אינערציע שטאַרק באַאיינפלוסט דורך דער אָרט פון דער ראָטאַציע אַקס. כאָטש די פאָרעם און גרייס זענען די זעלבע ווייל די אָרט פון דער ראָטאַציע אַקס איז אַנדערש, איז דער מאָמענט פון אינערציע אויך אַנדערש.

טיילכלעך לעבן דער ראָטאַציע אַקס האָבן אַ קלענערן מאָמענט פון אינערציע, בשעת טיילכלעך וואָס זענען ווייט פון דער ראָטאַציע אַקס האָבן אַ גרעסערן מאָמענט פון אינערציע. אויב מיר נעמען אָן אַז די צוויי טיילכלעך אויבן זענען שטייפע אָביעקטן, דאַן איז יעדער טיילכעל לעבן דער ראָטאַציע אַקס.

האט א קלענערן מאמענט פון אינערציע ווי דער מאמענט פון אינערציע פון ​​דעם טיילכל ווייטער אוועק פון דער ראָטאַציע אַקס.

3.3 מאָמענט פון אינערציע פון ​​אַ האָמאָגענעם שטייפֿן קערפּער

שטרענגע אביעקטן זענען צוזאמענגעשטעלט פון אסאך טיילכלעך. דער מאמענט פון אינערציע פון ​​א שטרענגן קערפער איז די גאנצע צאל מאמענטן פון אינערציע פון ​​יעדן טיילכל וואס בויט דעם אביעקט.

איך = Σ ^מר²

איך = מ₁ r₁² + עם₂ r₂² + עם₃ r₃² + ….. + מ_n r_n²

כדי צו באַשטימען דעם מאָמענט פון אינערציע פון ​​אַ שטייפֿן אָביעקט, דאַרפן מיר איבערקוקן דעם אָביעקט ווען ער דרייט זיך, ווייל די לאָקאַציע פון ​​דער ראָטאַציע-אַקס באַאיינפלוסט דעם מאָמענט פון אינערציע פון ​​דעם אָביעקט. דער מאָמענט פון אינערציע (I) פון יעדן פּאַרטיקל איז אויך אָפּהענגיק פון דער מאַסע (m) פון דעם פּאַרטיקל און דעם קוואַדראַט פון דער דיסטאַנץ (r² ⁾ פון דעם פּאַרטיקל פון דער ראָטאַציע-אַקס. די מאַסע פון ​​אַלע פּאַרטיקלען וואָס בויען אויף דעם אָביעקט איז די מאַסע פון ​​דעם אָביעקט.

די פראבלעם איז, די דיסטאַנץ פון יעדן פּאַרטיקל פון דער ראָטאַציע אַקס ווערייִרט.

קוקט איבער די פארקלענערונג אין דער פארמל פון דעם מאמענט פון אינערציע פון ​​א דין רינג מיט פינגער R און מאסע M.

אויב די ראָטאַציע אַקס איז ליגן אין צענטער פון רינג, זענען אַלע פּאַרטיקלעך פון דעם דין רינג ליגן פון דער ראָטאַציע אַקס. דער מאָמענט פון אינערציע פון ​​אַ דין רינג איז גלייך צו דעם מאָמענט פון אינערציע פון ​​אַלע פּאַרטיקלעך:

איך = Σ הער²

איך = מ₁ r₁² + עם₂ r₂² + עם₃ r₃² + ….. + מ_n r_n²

די מאַסע פון ​​אַלע פּאַרטיקלען = מאַסע פון ​​דין רינג (M)

איך = M ( _r12 ⁺ r22 ₊ ^r32 + _… ^.. + _rn2 ⁾

יעדעס טיילכל פון דעם דין רינג איז r פון דער ראָטאַציע אַקס אַזוי אַז r1 ₌ r2 ₌ r3 ₌ rn = R

די גלייכונג פון דעם מאָמענט פון אינערציע פון ​​דעם דין רינג:

איך = MR ²

I = מאָמענט פון טרעגקייט פון דעם דין רינג, M = מאַסע פון ​​דעם דין רינג, R = ראַדיוס פון דעם דין רינג.

וואָס אויב די ראָטאַציע אַקס איז נישט ליגן אין צענטער פון רינג? אויב די ראָטאַציע אַקס איז נישט ליגן אין צענטער פון רינג, קען מען נישט באַקומען די מאָמענט פון אינערציע פאָרמולע פון ​​דעם דין רינג מיטן אויבן דערמאָנטן מעטאָד,

ווייל די דיסטאַנץ פון יעדן טיילכל פון דער ראָטאַציע אַקס איז אַנדערש. אַרויספירן די פאָרמולע פון ​​דעם מאָמענט פון אינערציע פֿאַר אַ פּראָבלעם ווי דאָס ווערט נישט דיסקוטירט אין דעם טעמע.

די פֿאָרמולע פֿון דעם מאָמענט פֿון אינערציע פֿאַר עטלעכע שטרענגע אָביעקטן

3.4 ביישפיל פראבלעם פון דעם מאמענט פון אינערציע פון ​​א האמאגענישן שטייפן קערפער

בייַשפּיל פּראָבלעם 1:

שטאַנג צילינדער AB האט אַ מאַסע פון ​​3 ק"ג ווען ראָוטייטיד דורך B,

דער מאָמענט פון אינערציע איז 27 ק"ג מ² ^. וואָס איז דער מאָמענט פון אינערציע אויב

ראָטירט דורך C?

לייזונג:

לייזונג:

די פֿאָרמולע פֿון דעם מאָמענט פֿון אינערציע פֿאַר דער האָמאָגענער פֿעסטער שטאַנג (די ראָטאַציע-אַקס איז אין צענטער פֿון דער שטאַנג):

איך = 1/12 מל ²

27 = (1/12) מל ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

די פֿאָרמולע פֿון דעם מאָמענט פֿון אינערציע פֿון אַ האָמאָגענער פֿעסטער שטאַנג (די ראָטאַציע־אַקס אויף דעם ברעג פֿון דער שטאַנג):

איך = 1/3 מל ²

איך = 1/3 (324)

איך = 108 ק״ג ^מ²