האַרמאָניק ווייבריישאַן פאָרמולעס און ביישפילן
האַרמאָנישע וויבראַציע איז אַ שליסל טעמע אין פיזיק, אָפט דערשייַנענדיק אין דיסקוסיעס וועגן פּעריאָדישע באַוועגונג, כוואַליעס און אינזשעניריע אַפּליקאַציעס. מיר קענען עס געפֿינען אין דער באַוועגונג פון ספּרינגס, פּענדזשולז (פֿאַר קליינע ווינקלען), און אפילו די וויבראַציע פון מאָלעקולן אין מאַטעריע. עס ווערט גערופן "האַרמאָניש" ווייַל זיין באַוועגונג גייט נאָך אַ רעגולער מוסטער און קען מאָדעלירט ווערן מיט סינוס אָדער קאָסינוס פונקציעס. דער אַרטיקל דיסקוטירט אַ קורצע דעפֿיניציע, שליסל פֿאָרמולעס און בייַשפּיל פּראָבלעמען מיט לייזונגען צו העלפֿן אונדז פֿאַרשטיין דעם באַגריף פון האַרמאָנישער וויבראַציע.
1. פֿאַרשטיין האַרמאָנישע ווייבריישאַנז
פּשוטע האַרמאָנישע וויבראַציע (SHM) איז די צוריק-און-צוריק באַוועגונג פון אַן אָביעקט פאַרביי אַן גלייכגעוויכט פונקט מיט אַ צוריקשטעלן קראַפט וועמענס מאַגניטוד איז פּראָפּאָרציאָנעל צו די דיספּלייסמאַנט און וועמענס ריכטונג איז שטענדיק צו די גלייכגעוויכט פונקט. מאַטעמאַטיש, קענען אירע קעראַקטעריסטיקס געשריבן ווערן ווי:
F = -קקס
דאס מינוס סימן ווייזט אז די ריכטונג פון דער קראפט איז פארקערט צו דער ריכטונג פון אפווייכונג. אויב דער אביעקט ווערט געצויגן צו רעכטס (פאזיטיוו x), איז די צוריקשטעלנדיקע קראפט צו לינקס (נעגאטיוו), און פארקערט.
די צוויי סיסטעמען וואָס ווערן אָפט דערמאָנט ווי ביישפילן פון GHS זענען:
1. פֿעדער-מאַסע סיסטעם (מאַסע ביים סוף פֿון דער פֿעדער).
2. פּשוטער פּענדזשול (פֿאַר קליינע ווינקלען, געוויינטלעך < 15°).
2. וויכטיגע קוואַנטיטעטן אין האַרמאָנישע ווייבריישאַנז
עטלעכע קוואַנטיטעטן וואָס דערשייַנען שטענדיק אין די GHS:
– אָפּנייגונג (x): דיסטאַנץ פֿון דעם אָביעקט פֿון דעם גלייכגעוויכט־פּונקט (m).
– אַמפּליטוד (A): מאַקסימום אָפּנייגונג (m).
– פּעריאָד (T): די צייט וואָס איז נויטיק פֿאַר איין גאַנצע וויבראַציע (s).
– פרעקווענץ (f): צאָל וויבראַציעס פּער סעקונדע (Hz).
– ווינקל־געשווינדיקייט / ווינקל־פרעקווענץ (ω): א וויכטיגער פאראמעטער אין דער סינוס/קאסינוס גלייכונג (ראַד/ס).
– פאַזע (φ): באַשטימט די אָנהייב באַדינגונגען פון באַוועגונג.
גרונטלעכע באַציִונג צווישן פּעריאָד און אָפטקייט:
f = 1/ט
און די באַציִונג פֿון ω מיט T און f:
ω = 2πf = 2π/T
3. האַרמאָנישע ווייבריישאַן גלייכונג
די אַלגעמיינע פֿאָרעם פֿון דער אָפּנייגונג ווי אַ פֿונקציע פֿון צײַט קען געשריבן ווערן:
x(t) = A זינד(ωt + φ)
אָדער
x(t) = A קאָס(ωt + φ)
די אויסוואל פון זינד/קאָס איז גלייך ריכטיק, דיפּענדינג אויף די אָנהייב באַדינגונגען (למשל ווען t = 0, איז די פּאָזיציע אין אַמפּליטוד אָדער ביים גלייכגעוויכט פּונקט).
גיכקייט און אַקסעלעראַציע
גיכקייט איז די ערשטע דעריוואט פון פארשייבונג:
v(t) = dx/dt = Aω cos(ωt + φ) (אויב x = A sin)
אדער עס קען אויך האבן א נעגאטיוון ווערט לויט דער אנפאנגס-פארעם.
אַקסעלעראַציע איז די צווייטע דעריוואַטיוו:
a(t) = d²x/dt² = −Aω² sin(ωt + φ)
זינט x(t) = A sin(ωt + φ), דעמאָלט:
a(t) = −ω² x(t)
דאָס איז אַ שליסל שטריך פון GHS: אַקסעלעראַציע איז פּראָפּאָרציאָנעל צו דיספּלייסמאַנט און פאַרקערט אין ריכטונג.
מאַקסימום גיכקייט און מאַקסימום אַקסעלעראַציע
– v_max = Aω
– a_max = Aω²
מאַקסימום גיכקייט פּאַסירט ווען דער אָביעקט גייט דורכן גלייכגעוויכט פּונקט (x = 0). מאַקסימום אַקסעלעראַציע פּאַסירט ביי אַמפּליטוד (x = ±A).
4. פּעריאָד פון וויבראַציע אין פֿעדערן און פּענדולאַמען
א. פרילינג–מאַסע
פֿאַר אַן אידעאַלע פֿעדער מיט פֿעדער קאָנסטאַנט k און מאַסע m:
ט = 2π √(m/k)
ω = √(k/m)
דאָס מיינט אַז ווי גרעסער די מאַסע, אַלץ גרעסער די פּעריאָדע (שטײַפֿער). ווי גרעסער k (שטײַפֿערע פֿעדער), אַלץ קלענער די פּעריאָדע (שנעלער).
ב. פּשוטער פּענדזשול (קליינער ווינקל)
פֿאַר אַ פּענדזשול מיט שטריקל לענג L און גראַוויטאַציאָנעלער אַקסעלעראַציע g:
ט = 2π √(ל/ג)
ω = √(ג/ל)
אינטערעסאנט, אין דעם קליינעם ווינקל צוגאַנג, איז די פּעריאָדע נישט אָפענגיק אויף דער מאַסע פון דער פּענדזשאַלאַם, נאָר אויף דער לענג און גראַוויטאַציע.
5. ענערגיע אין האַרמאָנישע ווייבריישאַנז
אין GHS, בלייבט די גאַנצע ענערגיע קאָנסטאַנט (אויב עס איז נישטאָ קיין רייַבונג):
– פּאָטענציעלע ענערגיע פון דער פרילינג:
עפּ = ½ קקס²
– קינעטיש ענערגיע:
עק = ½ מ²
– גאַנץ מעכאַנישע ענערגיע:
E = Ek + Ep = ½ kA²
ווען x = ±A, v = 0, איז די ענערגיע אינגאנצן פאטענציאל. ווען x = 0, איז Ep = 0 און די ענערגיע איז אינגאנצן קינעטיש.
6. בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע
בייַשפּיל 1: באַשטימען די פרילינג פּעריאָד
א מאַסע פון 0,5 ק״ג ווערט געהאַנגען אויף אַ פֿעדער מיט אַ קאָנסטאַנט k = 200 N/m. באַשטימט די פּעריאָדע פֿון וויבראַציע!
געגעבן: m = 0,5 ק״ג, k = 200 N/m
געפרעגט: ט
ענטפער:
ט = 2π √(m/k)
= 2π √(0,5 / 200)
= 2π √(0,0025)
= 2π (0,05)
= 0,1π ס
≈ 0,314 ס
אַזוי, די ווייבריישאַן פּעריאָד פון דער פעדער איז וועגן 0,314 סעקונדעס.
-
בייַשפּיל 2: באַשטימען פרעקווענץ און ω
פֿון פֿראַגע 1, באַשטימט די פֿרעקווענץ (f) און ω!
ענטפער:
f = 1/T = 1/0,314 ≈ 3,18 הערץ
ω = 2π/T = 2π/0,314 ≈ 20 ראד/ס
(אדער גלייך ω = √(k/m) = √(200/0,5) = √400 = 20 ראַד/ס)
אַלזאָ, די אָפטקייט איז אַרום 3,18 הערץ און ω = 20 ראַד/סעק.
-
בייַשפּיל 3: דיווייישאַן גלייכונג
אַן אָביעקט וויברירט האַרמאָניש מיט אַן אַמפּליטוד פון 0,10 מעטער און ω = 5 ראַד/ס. ביי t = 0, איז דער אָביעקט אין גלייכגעוויכט און באַוועגט זיך אין דער פּאָזיטיווער ריכטונג. באַשטימט די דיספּלייסמאַנט גלייכונג!
געגעבן: A = 0,10 מעטער, ω = 5 ראַד/סעק.
אָנהייב באַדינגונגען: t = 0 → x = 0 און אָנהייב v איז פּאָזיטיוו.
אויב x(0) = 0, איז די פּאַסיקע פֿאָרעם סינוס:
x(t) = A זינד(ωt)
זינט v(t) = Aω cos(ωt), דעמאָלט v(0) = Aω cos(0) = positive Aω, אַקאָרדינגלי.
אַזוי:
x(t) = 0,10 sin(5t) (מעטער)
-
בייַשפּיל 4: מאַקסימום גיכקייט און מאַקסימום אַקסעלעראַציע
פֿון בייַשפּיל 3, באַשטימט v_max און a_max.
ענטפער:
v_max = Aω = 0,10 × 5 = 0,50 עם / s
אַ_מאַקס = Aω² = 0,10 × 25 = 2,5 עם/ס²
אַלזאָ, v_max = 0,50 מ/ס און a_max = 2,5 מ/ס².
-
בייַשפּיל 5: ענערגיע אין אַ קוואַל
א פעדער מיט k = 100 N/m וויברירט מיט אן אמפליטודע פון A = 0,20 m. רעכנט אויס איר גאנצע מעכאנישע ענערגיע!
ענטפער:
E = ½ kA²
= ½ (100)(0,20)²
= 50 × 0,04
= 2 דזש
די גאַנצע מעכאַנישע ענערגיע פון די ווייבריישאַן איז 2 דזשולס.
-
בייַשפּיל 6: פּענדזשאַלאַם פּעריאָד
א פשוטע פּענדזשאַלאַם איז 1 מעטער לאַנג. אויב g = 10 מעטער/ס², באַשטימט איר פּעריאָד.
ענטפער:
ט = 2π √(ל/ג)
= 2π √(1/10)
= 2π √0,1
≈ 2π (0,316)
≈ 1,99 ס
אַזוי, די פּעריאָד פון די פּענדזשאַלאַם איז וועגן 2,0 סעקונדעס.
7. מסקנא
פּשוטע האַרמאָנישע אָסצילאַציע איז אַ פונדאַמענטאַלע פּעריִאָדישע באַוועגונג אין פיזיק. דער שליסל צו פֿאַרשטיין עס ליגט אין דער באַציִונג צווישן דער צוריקשטעלן קראַפט און דער פֿאַרשייבונג (F = −kx), און איר מאַטעמאַטישן מאָדעל, וואָס פֿאָלגט דער סינוס/קאָסינוס פֿונקציע. דורך פֿאַרשטיין די פֿאָרמולעס פֿאַר דער פּעריאָדע פֿון אַ פֿעדער און אַ פּענדזשאַלאַם, די פֿאַרשייבונג-געשווינדיקייט-אַקסעלעראַציע גלייכונגען, און דעם באַגריף פֿון ענערגיע, וועט איר געפֿינען עס גרינגער צו סאָלווען פּראָבלעמען פֿאַרבונדן מיט ווייבריישאַנז און כוואַליעס.
אויב איר ווילט, קען איך צולייגן נאָך פּראַקטיק פֿראַגעס (אָן אַ דיסקוסיע ערשט) אָדער שאַפֿן אַ צוזאַמענגעפֿינצטע ווערסיע פֿון די פֿאָרמולעס גרייט פֿאַרן עקזאַמען.
