בייַשפּיל פֿראַגעס און דיסקוסיע פֿון גאַוס'ס געזעץ
גאוס'ס געזעץ איז א שליסל זייל פון עלעקטראָמאַגנעטיזם. עס גיט אַן עפעקטיוו וועג צו רעכענען דעם עלעקטרישן פעלד וואָס ווערט גענערירט דורך אַ פאַרשפּרייטונג פון עלעקטרישער לאָדונג. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר דיסקוטירן עטלעכע בייַשפּיל פּראָבלעמען און דיסקוטירן אַפּליקאַציעס פון גאוס'ס געזעץ אין פֿאַרשידענע סצענאַרן.
גרונט־קאָנצעפּט פֿון גאַוס'ס געזעץ
איידער מיר הייבן אן מיט די ביישפיל פראבלעמען, לאמיר איבערקוקן דעם גרונט קאנצעפט פון גאוס'ס געזעץ. גאוס'ס געזעץ זאגט אז דער גאנצער עלעקטרישער שטראם \( \Phi_E \) וואס שטאמט פון א פארמאכטער ייבערפלאך איז פראפארציאנעל צו דער גאנצער לאדונג \( q_{in} \) וואס ווערט איינגעשלאסן דורך דער ייבערפלאך. מאטעמאטיש, ווערט גאוס'ס געזעץ אויסגעדריקט ווי:
[\Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{אין}}{\epsilon_0} \]
די מאנא:
– \( \Phi_E \) איז דער עלעקטרישער פלוס.
– \( \mathbf{E} \) איז דאָס עלעקטרישע פעלד.
– \( \mathbf{A} \) איז דער אויבערפלאַך־שטח וועקטאָר.
– \( q_{אין} \) איז די לאָדונג אינעווייניק פון דער פארמאכטער ייבערפלאך.
– \( \epsilon_0 \) איז די וואַקוום פּערמיטיוויטי (\( \epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/(\text{N} \cdot \text{m}^2) \)).
בייַשפּיל קשיא 1: עלעקטריש פעלד אין אַ ליידיק קאַנדאַקטאָר ספֿערע
פראגע:
איר האָט אַ ליידיקע קאַנדאַקטינג קויל מיט אַ דרויסנדיקן ראַדיוס (R) און אַ גאַנצער לאָדונג (Q). באַשטימט דאָס עלעקטרישע פעלד אינעווייניק פֿון דעם ליידיקן קאַנדאַקטאָר.
פֿאַרעפֿנטלעכט:
– באַשטימונג פון גאַוסישער ייבערפלאַך:
אַננעמען אַז מיר קלייבן אַ קאָנצענטרישע ספערישע גאַוסישע ייבערפלאַך מיט אַ ראַדיוס r אינעווייניק פון אַ קאַנדאַקטינג קאַוואַטי (וואו r < R). - פלאַקס און לאַדונג קאַלקולאַציע: זינט דער אינעווייניק פון דער קאַנדאַקטינג ספער איז אַ ליידיק קאַוואַטי, איז די לאַדונג אינעווייניק פון דער גאַוסישע ייבערפלאַך נול (q_{in} = 0). - אַפּליקאַציע פון גאַוס'ס געזעץ: לויט גאַוס'ס געזעץ: [ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} \]
פֿאַרעפֿנטלעכט:
פֿאַר r < R): - באַשטימונג פון גאַוסישער ייבערפלאַך: קלייבט אַ ספערישע גאַוסישער ייבערפלאַך פון ראַדיוס r אינעווייניק פון דער האַרטער ספֿערע. - קאַלקולאַציע פון לאַדונג: זינט די לאַדונג איז גלייַך פאַרשפּרייט, די לאַדונג אין ראַדיוס r איז: [q_{in} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \] וואו (\rho = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} \). [ q_{in} = \frac{Q}{\frac{4}{3}πR^3} ⋅ \frac{4}{3}πr^3 = Q (\frac{r^3}{R^3})] - אנווענדונג פון גאוס'ס געזעץ: [ \point_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{in}}{\epsilon_0} ⋅ אַזוי: [ E 4πr^2 = \frac{Q (\frac{r^3}{R^3})}{\epsilon_0} ⋅ דורך פאַרפּשוטערן: [ E = \frac{Qr}{4π \epsilon_0 R^3} ⋅ אַזוי, דאָס עלעקטרישע פעלד אינעווייניק פון דער קויל (( r < R ⋅)) איז: [ E = \frac{Qr}{4π \epsilon_0 R^3} פֿאַר (r > R):
– באַשטימונג פון גאַוסישער ייבערפלאַך:
קלייבט אויס א ספערישע גאוסישע אייבערפלאך מיט א ראדיוס r אינדרויסן פון דער פעסטער ספער.
– לאַסט קאַלקולאַציע:
די גאַנצע לאָדונג אין אַ גאַוסישער ייבערפלאַך איז די גאַנצע לאָדונג פון דער קויל \(Q \).
– אנווענדונג פון גאוס'ס געזעץ:
\[
λλ{E} Δ = θ{q_{אין}}{θ}
\]
אַזוי אַז:
\[
E ≤ 4π r² = \frac{Q}{\epsilon_0}
\]
דורך פאַרפּשוטערן:
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
אַלזאָ, דאָס עלעקטרישע פעלד אַרויס פֿון דער קויל (\(r > R \)) איז:
\[
E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2}
\]
קעסימפּולאַן
גאוס'ס געזעץ גיט א שטארק געצייג פארן אנאליזירן עלעקטרישע פעלדער אין א ברייטע פארשיידנקייט פון סיטואציעס. דורך אויסקלויבן א פאסיגע גאוסישע אויבערפלאך און אנwenden אירע גרונט-פרינציפן, קענען מיר אויסרעכענען עלעקטרישע פעלד פארשפרייטונגען מער עפעקטיוו. דורך די אויבנדערמאנטע ביישפילן, האבן מיר געזען אנווענדונגען פון גאוס'ס געזעץ אין סיטואציעס ווי דאס עלעקטרישע פעלד אין א קאנדוקטיוון קויל, אן אומענדלעכע מעטאל טעלער, א פונקט לאדונג, און א קויל וואס אנטהאלט א גלייכמעסיגע לאדונג. קאנסיסטענט פארשטאנד און פראקטיק וועט זיכער מאכן א שטארקע אנווענדונג פון גאוס'ס געזעץ אין פארשידענע עלעקטראמאגנעטיזם אנווענדונגען.
