Vật liệu phép nhân chéo sử dụng các thành phần vectơ đơn vị
Ta có thể tính tích có hướng trực tiếp nếu biết các thành phần của vectơ. Quy trình tương tự như đối với tích vô hướng . Đầu tiên, ta nhân các vectơ đơn vị i , j và k . Tích vectơ giữa các vectơ đơn vị giống nhau bằng không.
i x i = j x j = k x k = 0
Bằng cách tham khảo phương trình nhân vectơ đã được suy ra trước đó (A x B = AB tội θ) và tính chất phản giao hoán của phép nhân vectơ (A x B = - B x A), sau đó ta có:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Bây giờ chúng ta biểu diễn các vectơ A và B theo các thành phần của chúng, phân tích tích của chúng và sử dụng tích của các vectơ đơn vị.
A x b= (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = –i x k = j, Vì thế :
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz – AzBy)i + (AzBx – Ax Bz)j + (AxBy – AyBx )k
Nếu C = A x B thì các thành phần của C như sau:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
