Eylemsizlik momenti

1. Parçacığın eylemsizlik momenti

Dönen bir parçacığı inceleyelim. Kütlesi m olan parçacığa, O ekseni etrafında dönmesi için F kuvveti uygulanmaktadır. Parçacık, dönme ekseninden r uzaklıktadır. İlk başta parçacık hareketsizdir (v = 0). F kuvvetiyle hareket ettikten sonra, parçacıklar belirli bir hızla hareket eder ve teğetsel ivmeye sahip olurlar. Kuvvet (F), kütle (m) ve parçacıkların teğetsel ivmesi arasındaki ilişki denklem 3 ile ifade edilir:

F = ma_bronzlaşmak (Denklem 3)

Parçacıklar, açısal ivmeye sahip olacak şekilde dönerler. Teğetsel ivme ile açısal ivme arasındaki ilişki denklem 4 ile ifade edilir:

a_bronzlaşmak = r α (Denklem 4)

3. denklemdeki a değerini 4. denklemdeki a değeriyle değiştirin:

F = mr α

r F = mr² α

τ = (Bay²) α (Denklem 5)

r F kuvvet momenti ve mr² Burada, parçacığın eylemsizlik momenti yer almaktadır. Denklem 5, dönen parçacıkların kuvvet momenti, eylemsizlik momenti ve açısal ivmesi arasındaki ilişkiyi ifade eder. Denklem 5, dönen parçacıklar için Newton'un ikinci yasasının denklemidir.

MKS eylemsizlik momenti Bir parçacığın ivmesi, parçacığın kütlesi (m) ile parçacıklar arasındaki dönme eksenine olan mesafenin karesinin (r²) çarpımına eşittir.²).

Ben = Bay² (Denklem 6)

I = parçacığın eylemsizlik momenti, m = parçacığın kütlesi, r = parçacık ile dönme ekseni arasındaki mesafe. Denklem 6, bir parçacığın eylemsizlik momentini belirlemek için kullanılır.

3.2 Parçacığın eylemsizlik momenti ile ilgili örnek problemler

Örnek problem 1.

Kütlesi 2 kg olan bir parçacık, 0.5 metre uzunluğunda bir ipe bağlanarak döndürüldü. Dönen parçacığın eylemsizlik momenti nedir?

Çözüm:

Ben = Bay ²

I = (2 kg) (0.5 m)²

I = 0.5 kg m ²

Örnek problem 2.

Kütleleri sırasıyla 2 kg ve 4 kg olan iki parçacık, uzunluğu 2 metre olan hafif bir telle birbirine bağlanmıştır. Tellerin kütlesi ihmal edilsin. İki parçacığın eylemsizlik momentini belirleyiniz, eğer:

a) Dönme ekseni iki parçacık arasında yer almaktadır.

Çözüm:

Ben = m₁ r₁² +m₂ r₂²

I = (2)(12) + (4)(12)

I = 2 + 4

I = 6 kg m ²

b) Dönme ekseni, kütlesi 2 kg olan parçacıktan 0.5 metre uzaklıktadır.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5²) + (4)(1.5²)

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

I = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

c) Dönme ekseni, kütlesi 4 kg olan parçacıktan 0.5 metre uzaklıktadır.

Ben = m₁ r₁² +m₂ r₂²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5²)

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

I = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

Yukarıdaki hesaplamaların sonuçlarına göre, eylemsizlik momenti, dönme ekseninin konumundan büyük ölçüde etkilenmektedir. Şekil ve boyut aynı olsa da, dönme ekseninin konumu farklı olduğundan eylemsizlik momenti de farklıdır.

Dönme eksenine yakın parçacıkların eylemsizlik momenti daha küçüktür, dönme ekseninden uzak parçacıkların ise eylemsizlik momenti daha büyüktür. Yukarıdaki iki parçacığın rijit cisimler olduğunu varsayarsak, her parçacık dönme eksenine yakındır.

Dönme ekseninden daha uzakta bulunan parçacığın eylemsizlik momentinden daha küçük bir eylemsizlik momentine sahiptir.

3.3 Homojen rijit bir cismin eylemsizlik momenti

Katı cisimler birçok parçacıktan oluşur. Katı bir cismin eylemsizlik momenti, cismi oluşturan her bir parçacığın eylemsizlik momentlerinin toplamıdır.

I = Σ mr²

Ben = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Katı bir cismin eylemsizlik momentini belirlemek için, cismin dönme ekseninin konumu eylemsizlik momentini etkilediğinden, cismin dönme hareketini incelememiz gerekir. Her bir parçacığın eylemsizlik momenti (I), parçacığın kütlesine (m) ve mesafenin karesine (r²) de bağlıdır.²Parçacığın dönme ekseninden uzaklığı. Nesneyi oluşturan tüm parçacıkların kütlesi, nesnenin kütlesidir.

Sorun şu ki, her parçacığın dönme eksenine olan uzaklığı değişiyor.

Parmak uzunluğu R ve kütlesi M olan ince bir halkanın eylemsizlik momenti formülündeki azalmayı inceleyin.

Dönme ekseni halkanın merkezinde yer alıyorsa, ince halkanın tüm parçacıkları dönme ekseninden uzakta bulunur. İnce bir halkanın eylemsizlik momenti, tüm parçacıkların eylemsizlik momentine eşittir:

I = Σ mr²

Ben = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Tüm parçacıkların kütlesi = ince halkanın kütlesi (M)

I = M (r₁² +r₂² +r₃² + ….. + r_n²)

İnce halkanın her bir parçacığı, dönme ekseninden r uzaklıktadır, öyle ki r₁ = r₂ = r₃ = rn = R

İnce halkanın eylemsizlik momentinin denklemi:

I = MR²

I = ince halkanın eylemsizlik momenti, M = ince halkanın kütlesi, R = ince halkanın yarıçapı.

Dönme ekseni halkanın merkezinde yer almıyorsa ne olur? Eğer dönme ekseni halkanın merkezinde yer almıyorsa, yukarıdaki yöntem kullanılarak ince halkanın eylemsizlik momenti formülü elde edilemez.

Çünkü her parçacığın dönme eksenine olan uzaklığı farklıdır. Bu tür bir problem için eylemsizlik momenti formülünün türetilmesi bu konuda ele alınmamıştır.

Bazı katı cisimler için eylemsizlik momenti formülü

3.4 Homojen rijit bir cismin atalet momenti ile ilgili örnek problem

Örnek problem 1:

AB çubuk silindirinin B noktasından döndürüldüğünde kütlesi 3 kg'dır.

Eylemsizlik momenti 27 kg m'dir.²Eylemsizlik momenti nedir eğer

C üzerinden döndürüldü mü?

Çözüm:

Çözüm:

Homojen katı çubuk için eylemsizlik momenti formülü (dönme ekseni çubuğun merkezindedir):

I = 1/12 ML²

27 = (1/12) ML²

(27)(12) = ML²

324 = ML²

Homojen katı bir çubuğun eylemsizlik momentinin formülü (dönme ekseni çubuğun kenarındadır):

I = 1/3 ML²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²