Parçacıkların ve katı cisimlerin eylemsizlik momenti – problemler ve çözümler

Parçacığın eylemsizlik momenti

1. Bir ucuna 30 cm uzunluğunda bir ip bağlı 100 gramlık bir top. Topun AB dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti nedir? İpin kütlesini ihmal edin.

Bilinenler:

AB noktasındaki dönme ekseni

Topun kütlesi (m) = 100 gram = 100/1000 = 0.1 kg

Top ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r) = 30 cm = 0.3 m

Aranan: Topun eylemsizlik momenti (I)

Çözüm :

I = mr ² = (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 kg)(0.09 ^m² )

I = 0.009 kg m ²

[irp]

2. 100 gramlık bir top ( m1 ₎ ve 200 gramlık bir top ( m2 ₎ , 60 cm uzunluğunda bir çubukla birbirine bağlanmıştır. Çubuğun kütlesi ihmal edilmiştir. Dönme ekseni çubuğun merkezinde yer almaktadır. Topun dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti nedir?

Bilinenler:

Top 1'in kütlesi (m ₁ ) = 100 gram = 100/1000 = 0.1 kg

1 numaralı topun dönme eksenine olan mesafesi (r ₁ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Topun kütlesi (m² ₎ = 200 gram = 200/1000 = 0.2 kg

2 numaralı topun dönme eksenine olan mesafesi ( r ₂ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Aranan: Topların eylemsizlik momenti

Cevap :

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.2 kg)( 0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.2 kg)( 0.09 m ² )

I = 0.009 kg ^m² + 0.018 kg ^m²

I = 0.027 kg m ²

[irp]

3. 200 gramlık bir top (m1 ₎ ve 100 gramlık bir top (m2), ₆₀ cm _uzunluğunda bir çubukla birbirine bağlanmıştır. Çubuğun kütlesi ihmal edilmiştir. Dönme ekseni m2 topunda bulunmaktadır . Topların eylemsizlik momenti nedir? Çubuğun kütlesi ihmal edilmiştir.

Bilinenler:

Birinci topun kütlesi (m1 ₎ = 200 gram = 200/1000 = 0.2 kg

1 numaralı top ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₁ ) = 60 cm = 60/100 = 0.6 m

Topun kütlesi 2 (m ₂ ) = 100 gram = 100/1000 = 0.1 kg

2 numaralı top ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₂ ) = 0 m

Aranan: Topların eylemsizlik momenti

Çözüm :

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ² + (0.2 kg)(0 ) ²

I = (0.2 kg)( 0.36 m ² ) + 0

I = 0.072 kg m ²

[irp]

4. Her bir topun kütlesi 100 gram olup, toplar bir ip ile birbirine bağlanmıştır. İpin uzunluğu 60 cm, genişliği ise 30 cm'dir. Topun dönme ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti nedir? İpin kütlesini ihmal edin.

Bilinenler:

Topun kütlesi = m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄ = 100 gram = 100/1000 = 0.1 kg

Top ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₁ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

2 numaralı top ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₂ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

3 numaralı top ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₃ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

4 numaralı top ile dönme ekseni arasındaki mesafe (r ₄ ) = 30 cm = 30/100 = 0.3 m

Bilinen: Atalet momenti

Çözüm :

Ben = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.036 kg m ²

[irp]

Katı bir cismin eylemsizlik momenti

5. Dönme ekseni çubuğun merkezinde bulunan, kütlesi 2 kg ve uzunluğu 2 m olan düzgün bir çubuğun eylemsizlik momenti nedir?

Bilinenler:

Çubuğun kütlesi (M) = 2 kg

Çubuğun uzunluğu (L) = 2 m

Aranan: Eylemsizlik momenti

Çözüm :

Dönme ekseni uzun ve düzgün bir çubuğun merkezinde bulunduğunda, eylemsizlik momentinin formülü şöyledir:

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/12) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/12)(8 kg m ² )

I = 8/12 kg m ²

I = 2/3 kg m ²

[irp]

6. Uzunluğu 2 m olan ve kütlesi 2 kg olan düzgün bir çubuğun eylemsizlik momenti nedir? Dönme ekseni çubuğun bir ucunda yer almaktadır.

Bilinenler:

Çubuğun kütlesi (M) = 2 kg

Sert çubuğun uzunluğu (L) = 2 m

Aranan: Eylemsizlik momenti

Çözüm :

Dönme ekseni çubuğun bir ucunda bulunduğunda eylemsizlik momenti formülü:

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/3) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/3)(8 kg m ² )

I = 8/3 kg m ²

[irp]

7. Yarıçapı 0.1 m olan 10 kg kütleli katı bir silindir. Dönme ekseni, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi katı silindirin merkezinde yer almaktadır. Silindirin eylemsizlik momenti nedir?

Bilinenler:

Katı silindirin kütlesi (M) = 10 kg

Silindirin yarıçapı (L) = 0.1 m

Aranan: Eylemsizlik momenti

Aranan: Eylemsizlik momenti

Çözüm :

Dönme ekseni silindirin merkezinde olduğunda eylemsizlik momentinin formülü:

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 m ² )

I = (1/2)(0.1 kg m ² )

I = 0.05 kg m ²

8. Uzunluğu 0.1 m olan ve kütlesi 20 kg olan düzgün bir küre. Kürenin merkezinde bulunan dönme ekseni aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Bilinenler:

Kürenin kütlesi (M) = 20 kg

Kürenin yarıçapı (L) = 0.1 m

Aranan: bir anlık durağanlık

Çözüm :

Dönme ekseni kürenin merkezinde bulunduğunda eylemsizlik momentinin formülü:

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 ^m² )

I = (2/5)(0.2 kg m ² )

I = 0.4/5 kg m ²

I = 0.08 kg m ²

[irp]

9. Uzunluğu 0.5 m ve genişliği 0.2 m olan, kütlesi 2 kg olan dikdörtgen şeklinde ince bir levha. Dönme ekseni, aşağıdaki şekilde gösterilen dikdörtgen levhanın merkezinde yer almaktadır. Dikdörtgenin eylemsizlik momenti nedir?

Bilinenler:

Dikdörtgen plakanın kütlesi (M) = 2 kg

Plakanın uzunluğu (a) = 0.5 m

Plakanın genişliği (b) = 0.2 m

Aranan: Eylemsizlik Momenti

Çözüm :

Dönme ekseninin plakanın merkezinde bulunduğu durumda eylemsizlik momentinin formülü:

I = (1/ 12 ) M (a ² + b ² )

I = (1/12)(2)(0.5 ² + 0.2 ² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg m ²