Açısal momentum

Açısal momentum

Dönme hareketinin miktarı, doğrusal hareketteki kütle (m) ile aynıdır ve eylemsizlik momenti (I) olarak adlandırılır. Dönme hareketinin miktarı, doğrusal hareketteki hız (v) ile aynıdır ve açısal hız (ω) olarak adlandırılır. Dolayısıyla, dönen cismin açısal momentumu şu denklem kullanılarak hesaplanabilir:

L = I ω

L = açısal momentum (kg m² ^/ s), I = eylemsizlik momenti (kg m² ⁾ , ω = açısal hız (rad/s)

Açısal momentumun örnek problemleri

Örnek problem 1.

Kütlesi 0.5 gram olan bir parçacık, saniyede 2 radyanlık sabit bir açısal hızla dairesel bir yörüngede hareket etmektedir. Parçacığın yörüngesinin yarıçapı 10 cm ise, parçacığın açısal momentumunu belirleyiniz.

Çözüm:

Parçacığın eylemsizlik momenti:

I = mr ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-1 m) ² = (0.5 x 10 ^-3 kg)(1 x 10 ^-2 m ² ) = 0.5 x 10 ^-5 kg ​​​​m ²

Parçacığın açısal hızı:

ω = 2 rad/s

Parçacığın açısal momentumu:

L = (0.5 x 10⁻⁵ ^kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 x ^10⁻⁵ kg m² ^/ s

Açısal momentumun korunumu yasası

Açısal momentumun korunumu yasası, dönen bir katı cisme etki eden bileşke kuvvet momenti sıfır ise, dönen cismin açısal momentumunun her zaman sabit olduğunu belirtir. Açısal momentumun korunumu yasası, Newton'un ikinci açısal momentum yasasının denklemini değiştirerek matematiksel olarak türetilebilir. İşte Newton'un ikinci açısal momentum yasasının denklemi:

Eğer bileşke kuvvet momenti sıfır ise, yukarıdaki denklem şu şekilde değişir:

I _t = son eylemsizlik momenti, I _o = ilk eylemsizlik momenti, ω _t = son açısal hız, ω _o = ilk açısal hız, L _t = son açısal momentum, L _o = ilk açısal momentum.

Açısal momentumun korunumu yasasına ilişkin örnek problemler

Örnek problem 1.

Homojen katı silindirik bir disk, başlangıçta kendi ekseni etrafında 4 rad/s hızla dönmektedir. Diskin kütlesi ve yarıçapı sırasıyla 1 kg ve 0.5 m'dir. Diskin üzerine kütlesi ve yarıçapı sırasıyla 0.2 kg ve 0.1 m olan bir halka yerleştirilirse ve halkanın merkezi,

Diskin merkezinin hemen üzerinde, disk ve halka birlikte ... açısal hızıyla dönecektir.

Çözüm:

Katı silindirin eylemsizlik momenti: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Halkanın eylemsizlik momenti: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Başlangıç ​​açısal momentumu (L ₁ ) = Son açısal momentum (L ₂ )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 rad/s

Kavramsal sorular ve cevaplar

1. Açısal momentum nedir?
   Cevap: Açısal momentum, bir cismin kütlesi ve şekli dikkate alınarak, cismin dönme miktarının bir ölçüsüdür. Doğrusal momentumun dönme hareketindeki karşılığıdır.
2. Açısal momentum matematiksel olarak nasıl belirlenir?
   Cevap: Açısal momentum (L) şu şekilde tanımlanır: $L=r\times p$, Burada $r$ , dönme ekseninden uygulama noktasına olan konum vektörüdür ve $p$ Doğrusal momentumdur.
3. Açısal momentum skaler mi yoksa vektörel bir nicelik midir?
   Cevap: Açısal momentum vektörel bir niceliktir.
4. SI sisteminde açısal momentumun birimi nedir?
   Cevap: SI sisteminde açısal momentumun birimi kilogram-metre kare bölü saniyedir (kg·m²).²/ S).
5. Açısal momentum nasıl korunur?
   Cevap: Dış torkların olmadığı kapalı bir sistemde, toplam açısal momentum sabit kalır.
6. Açısal momentumun korunumu ilkesi nedir?
   Cevap: Bu ilke, kapalı bir sistemin toplam açısal momentumunun, dışarıdan bir tork etki etmedikçe sabit kaldığını belirtir.
7. Buz patencisinin dönüş hareketi ile açısal momentum arasında nasıl bir ilişki vardır?
   Cevap: Buz patencisi dönüş sırasında kollarını ve bacaklarını vücuduna yaklaştırdığında, eylemsizlik momentini azaltır ve bu da daha hızlı dönmesine neden olur. Bu, açısal momentumun korunumu ilkesini gösterir.
8. Tork ile açısal momentum arasındaki ilişki nedir?
   Cevap: tork ($\tau$) açısal momentumun değişim hızıdır. Matematiksel olarak, τ=dL/sn​.
9. Bir cismin açısal hızı olmadan açısal momentuma sahip olması mümkün müdür?
   Cevap: Hayır, bir cismin açısal momentumu varsa, açısal hızı da vardır. Açısal momentumun büyüklüğü ve yönü hem eylemsizlik momentine hem de açısal hıza bağlıdır.
10. Eylemsizlik momenti açısal momentumu nasıl etkiler?
    Cevap: Açısal momentum (L), eylemsizlik momenti (I) ile açısal hızın (ω) çarpımıdır. $L=I\omega$Belirli bir açısal hız için eylemsizlik momentindeki artış, açısal momentumu da artıracaktır.
11. Kuantum mekaniğinde spin ve yörünge açısal momentumu arasındaki fark nedir?
    Cevap: Dönme açısal momentumu, elektronlar gibi parçacıkların içsel bir özelliğidir ve uzaydaki hareketten kaynaklanmaz. Öte yandan, yörünge açısal momentumu, bir parçacığın merkezi bir nokta etrafındaki hareketinden kaynaklanır.
12. Açısal momentum, gezegen sistemlerinin oluşumunda ne gibi bir rol oynar?
    Cevap: Moleküler bir bulut çökerek yıldızlar ve gezegenler oluştururken, açısal momentumun korunumu ilkesi gereği madde, yeni doğan yıldızın etrafında bir disk şeklinde düzleşir ve gezegenler bu diskten oluşabilir.
13. Bir jiroskop uzayda yönünü nasıl korur?
    Cevap: Dönen bir jiroskopun açısal momentumu vardır. Dışarıdan uygulanan bir tork, jiroskopun yönünü değiştirmeye çalıştığında, açısal momentumun korunumu nedeniyle jiroskop, uygulanan torka dik yönde dönme eksenini değiştirir (presesyon yapar).
14. Dönen bir topaçta presesyona ne sebep olur?
    Cevap: Dönen bir topaçtaki presesyon, topaçın kütle merkezine etki eden yerçekimi torkundan kaynaklanır; bu kütle merkezi, dönme noktasından uzaktadır. Bu tork, topaçın açısal momentumunun yönünde bir değişikliğe yol açarak presesyon hareketine neden olur.
15. Yıldızlar neden kutuplarında basıklaşır?
    Cevap: Yıldızlar kendi eksenlerinde dönerken, maddeyi dışarı doğru iten bir merkezkaç kuvvetine maruz kalırlar. Bu etki, kutuplara göre ekvatorda daha güçlüdür ve bu da yıldızların basık veya yassı bir şekil almasına yol açar.
16. Açısal momentumun Kepler'in ikinci yasasıyla ilişkisi nedir?
    Cevap: Kepler'in ikinci yasası, bir gezegen ile Güneş'i birleştiren doğru parçasının eşit zaman aralıklarında eşit alanlar taradığını belirtir. Bu, açısal momentumun korunumu ilkesinin bir sonucudur.
17. Kediler düştüklerinde neden hep ayaklarının üzerine düşerler?
    Cevap: Kediler açısal momentumun korunumu ilkesinden yararlanırlar. Vücutlarını döndürerek ve havada eylemsizlik momentlerini değiştirerek, korunum yasalarını ihlal etmeden ayaklarının üzerine inmek için kendilerini yeniden yönlendirebilirler.
18. Elektronlarda manyetik moment ile açısal momentum arasında nasıl bir ilişki vardır?
    Cevap: Bir elektronun manyetik momenti, spininden ve yörünge açısal momentumundan kaynaklanır. Manyetik moment, elektronun açısal momentumuyla orantılıdır.
19. Kutupsal koordinatlar cinsinden açısal momentum nedir?
    Cevap: Kutupsal koordinatlarda, açısal momentum $L$ Noktasal kütle için şu şekilde ifade edilebilir: $L=mrv$, Burada $m$ kütle, $r$ , radyal mesafedir ve $v$ teğetsel hızdır.
20. Kapalı bir sistemde iki cisim çarpıştığında, sistemin açısal momentumuna ne olur?
    Cevap: Kapalı bir sistemde iki cismin çarpışması durumunda, sisteme dışarıdan herhangi bir tork etki etmediği varsayılarak, çarpışmadan önceki toplam açısal momentum, çarpışmadan sonraki toplam açısal momentuma eşittir.

Sorunlar ve Çözümleri

1. Problem: 2 kg kütleli bir noktasal cisim, 4 m yarıçaplı bir çember içinde 3 m/s hızla hareket etmektedir. Cismin çemberin merkezi etrafındaki açısal momentumunu hesaplayınız.

Çözüm: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg.m² ^/ s

2. Problem: Kütlesi 3 kg ve yarıçapı 0.5 m olan katı bir küre, çapı etrafında ω = 2 rad/s açısal hızla dönmektedir. Açısal momentumu nedir?

Çözüm: Katı bir küre için, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problem: 3 kg kütleli bir noktasal cisim, düz bir çizgide 4 m/s hızla hareket etmektedir. Hareket çizgisinden 5 m uzaklıktaki bir noktaya göre açısal momentumu nedir?

Çözüm:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Problem: Kütlesi 5 kg ve yarıçapı 3 m olan bir disk, 2 rad/s açısal hızla dönmektedir. Açısal momentumunu hesaplayınız.

Çözüm: Bir disk için, I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problem: Uzunluğu 4 m ve kütlesi 2 kg olan bir çubuk, bir ucu etrafında 3 rad/s açısal hızla dönmektedir. Açısal momentumunu bulunuz.

Çözüm: Bir çubuğun bir ucundan yapılan kuvvet için ^, I = 1/3 m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problem: Dönen bir cismin açısal hızı iki katına çıkarsa, açısal momentumdaki değişim ne olur?

Çözüm: Açısal momentum (L) ile açısal hız (ω) arasındaki ilişki $L=I\times \omega \text{'}dir$ . Eğer ω iki katına çıkarsa, açısal momentum da iki katına çıkar.

7. Problem: Hareket eden bir parçacığın dairesel yörüngesinin yarıçapı, hızı sabit kalırken iki katına çıkarılırsa, açısal momentum hangi faktörle değişir?

Çözüm: Açısal momentum, $L=m\times r\times v$ . Eğer r iki katına çıkarsa, L de iki katına çıkar.

8. Problem: Kütlesi 30 kg olan bir çocuk, durmakta olan bir dönme dolabın kenarında durmaktadır. Dönme dolabın yarıçapı 2 m'dir. Çocuk, yere göre 2 m/s hızla kenar boyunca koşmaya başlarsa, çocuğun merkeze göre açısal momentumunu bulun.

Çözüm: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg.m² ^/ s

9. Problem: Kütlesi 6 kg ve yarıçapı 2 m olan bir silindir, merkez ekseni etrafında 5 rad/s açısal hızla dönmektedir. Açısal momentumunu hesaplayınız.

Çözüm: Silindir için I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ = 1/2 × 6 × 2² ^× 5 = 120 kg.m² ^/ s

10. Problem: Bir cismin eylemsizlik momenti yarıya indirilir ve açısal hızı üç katına çıkarılırsa, cismin yeni açısal momentumu ne olur?

Çözüm: $L=I\times \omega$ verildiğine göre , $I$ yarıya indirilir ve $\omega$ üç katına çıkarılırsa, yeni $L,$ orijinalinin 1/2 × 3 = 1.5 katı olur .

11. Problem: Kütlesi 2 kg ve yarıçapı 1 m olan bir halka, 4 rad/s açısal hızla dönmektedir. Açısal momentumunu hesaplayınız.

Çözüm: Bir çember için, I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 kg.m ² /s

12. Problem: Kanat uzunluğu 0.5 m ve toplam kütlesi 1 kg olan bir vantilatörün açısal momentumunu belirleyiniz. 10 rad/s açısal hızla dönüyorsa, açısal momentumunu hesaplayınız.

Çözüm: Fan kanatlarının bir ucundan dönen çubuklar gibi olduğunu varsayarsak, I = 1/3 m l ²

$L=I\times \omega$ = 1/3 × 1 × 0.5² ^× 10 = 0.833 kg.m² ^/ s

13. Problem: Dünyanın kendi ekseni etrafındaki dönüşünden kaynaklanan açısal momentumunu hesaplayınız. Verilenler: Dünya kütlesi ⁼ 5.972 × 10²⁴ ^kg , Yarıçap $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁵rad\text{/s}$.

Çözüm: Dünyayı katı bir küre olarak kabul edersek ^, I = 2/5 m r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m2 ^/ s​

14. Problem: Bir çocuk dönen bir platformun merkezine doğru hareket ediyor. Açısal momentum artar mı, azalır mı yoksa aynı mı kalır?

Çözüm: Açısal momentum korunur. Çocuk merkeze doğru hareket ederken, eylemsizlik momenti azalır. Açısal momentumun korunması için açısal hız artar. Dolayısıyla, açısal momentum aynı kalır.

15. Problem: Dönen bir cismin kinetik enerjisi iki katına çıkarılırsa, açısal momentumu hangi faktörle değişir?

Çözüm: Kinetik enerji K = 1/2 ​I ω ² ve Açısal momentum $L=I\omega$ . Kinetik enerji iki katına çıkarsa ve $I$ sabit kalırsa, ω ²$iki\; katına\; çıkar.\; Bu,\; \omega \text{'}nın$ √ 2​ faktörüyle arttığı anlamına gelir .$Dolayısıyla,\; L$ de √ 2​ faktörüyle artar .

16. Problem: Yarıçapı 0.3 m olan bir bisiklet tekerleğinin jantının kütlesi 1.5 kg'dır. Eğer 5 rad/s açısal hızla dönüyorsa, açısal momentumunu bulun.

Çözüm: Çemberi bir halka olarak kabul edersek, I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg.m² ^/ s

L = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 kg.m2 ^/ s

17. Problem: Bir buz patencisi dönerken kollarını içeri doğru çekiyor. Açısal momentumuna ne olur?

Çözüm: Patencinin açısal momentumu korunur. Kollarını içeri çekerek eylemsizlik momentini azaltır ve böylece açısal momentumunu korumak için daha hızlı döner (açısal hızı artar).

18. Problem: Bir volanın eylemsizlik momenti 0.2 kg.m² olup ^, 10 ^rad / s açısal hızla dönmektedir. Açısal momentumunu bulunuz.

Çözüm:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² / s^​

19. Problem: Bir sisteme etki eden net dış tork sıfırdır. Bu sistemin açısal momentumu hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Çözüm: Eğer net dış tork sıfır ise, açısal momentumun korunumu ilkesine göre sistemin toplam açısal momentumu sabit kalır.

20. Problem: m = 5 kg kütleli bir noktasal cisim, kendisini bir P noktasına bağlayan doğruya dik olarak v = 3 m/s hızla hareket etmektedir. P noktasından uzaklığı 4 m ise, cismin P noktası etrafındaki açısal momentumunu bulunuz.

Çözüm:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m2 ^/ s​