Prinsipyo at Materyal ng Ekwasyon ni Bernoulli
Kapag mabilis tayong nagmomotorsiklo, namumugto ang mga damit na suot natin sa likuran. Kung hindi ka pa marunong magmotorsiklo, bigyang-pansin ang iyong mga magulang o kaibigan na nagmomotorsiklo. Karaniwang namumugto ang likod ng kanilang mga damit sa likuran kapag mabilis ang takbo ng motorsiklo. Minsan, kapag malakas ang hangin, kusang sumasara ang pinto ng bahay. Kahit na umiihip ang hangin sa labas ng bahay, habang nasa loob ng bahay ang pinto.
Maipapaliwanag ito gamit ang prinsipyo ni Bernoulli. Natuklasan ni Daniel Bernoulli (1700–1782) ang isang prinsipyo na maaaring gamitin upang ipaliwanag ang ilan sa mga bagay na nabanggit.
Prinsipyo ni Bernoulli
Nakasaad sa prinsipyo ni Bernoulli na kung saan mataas ang bilis ng daloy ng pluwido, mababa ang presyon ng pluwido. Sa kabaligtaran, kung mababa ang bilis ng daloy ng pluwido, tumataas ang presyon. Kapag mabilis ang takbo ng motorsiklo, mataas ang bilis ng hangin sa harap at tabi ng iyong katawan. Kaya, bumababa ang presyon ng hangin. Ang likod ng iyong katawan ay hinaharangan ng harap ng iyong katawan, kaya ang bilis ng hangin sa likod ng iyong katawan ay hindi nagbabago sa mataas (sa likod mismo ng iyong katawan). Bilang resulta, tumataas ang presyon ng hangin sa likod ng iyong katawan. Dahil may pagkakaiba sa presyon ng hangin, kung saan mas mataas ang presyon ng hangin sa likod mismo ng iyong katawan, itinutulak ng hangin ang iyong damit paatras, na nagpapamukha sa iyong pumutok sa likod.
Paano naman ang isang pinto na kusang nagsasara kapag malakas ang hangin sa labas? Mas mabilis ang galaw ng hangin sa labas kaysa sa hangin sa loob. Bilang resulta, mas mababa ang presyon ng hangin sa labas kaysa sa presyon ng hangin sa loob. Dahil sa pagkakaiba ng presyon na ito, kung saan mas mataas ang presyon ng hangin sa loob, naitutulak palabas ang pinto. Sa madaling salita, lumilipat ang pinto mula sa lugar na may mas mataas na presyon ng hangin patungo sa lugar na may mas mababang presyon ng hangin.
Ekwasyon ni Bernoulli
Dati, natutunan natin ang tungkol sa prinsipyo ni Bernoulli. Binuo rin ni Bernoulli ang prinsipyong ito sa pamamagitan ng dami. Upang makuha ang ekwasyon ni Bernoulli, ipinapalagay natin ang matatag, laminar fluid flow, incompressibility, at mababang lagkit, na maaaring balewalain.
Sa talakayan ng Continuity Equation, natutunan natin na ang fluid flow rate ay maaari ring mag-iba depende sa cross-sectional area ng flow tube. Batay sa Bernoulli principle na ipinaliwanag sa itaas, ang fluid pressure ay maaari ring mag-iba depende sa fluid flow rate. Ang fluid pressure ay maaari ring mag-iba depende sa taas ng fluid. Ang ugnayan sa pagitan ng pressure, flow rate, at taas ng daloy ay maaaring makuha mula sa Bernoulli equation.
Napakahalaga ng ekwasyon ng Bernoulli dahil magagamit ito sa pagsusuri ng paglipad ng sasakyang panghimpapawid, mga planta ng kuryenteng hydroelectric, mga sistema ng tubo, atbp. Upang mailapat sa pangkalahatan ang ekwasyon ng Bernoulli na ating kukunin, ipagpapalagay natin na ang pluwido ay dumadaloy sa isang tubo ng daloy na may hindi pantay na mga cross-sectional area at iba't ibang taas (tingnan ang pigura sa ibaba). Upang makuha ang ekwasyon ng Bernoulli, ilalapat natin ang teorama ng trabaho at enerhiya sa pluwido sa rehiyon ng tubo ng daloy. Susunod, kakalkulahin natin ang dami ng pluwido at ang trabahong ginawa upang igalaw ang pluwido.
Ang malabong kulay sa tubo ng daloy sa larawan ay nagpapahiwatig ng daloy ng likido habang ang puting kulay ay nagpapahiwatig ng kawalan ng likido.
Ang pluwido sa cross-sectional area 1 (kaliwang bahagi) ay dumadaloy sa layong L1 at pinipilit ang pluwido sa cross-section 2 (kanang bahagi) na gumalaw sa layong L2 . Dahil mas maliit ang cross-sectional area 2 sa kanang bahagi, mas malaki ang daloy ng pluwido sa kanang bahagi ng flow tube (Tandaan ang continuity equation). Nagdudulot ito ng pagkakaiba sa presyon sa pagitan ng cross-section 2 (kanang bahagi ng flow tube) at cross-section 1 (kaliwang bahagi ng flow tube) - Tandaan ang prinsipyo ni Bernoulli. Ang pluwido sa kaliwang bahagi ng cross-section 1 ay naglalabas ng presyon na P1 sa pluwido sa kanang bahagi at gumagawa ng gawain ng:
Kung gayon, ang ekwasyon na W 1 ay maaaring isulat bilang:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Sa cross section 2 (kanang bahagi ng flow tube), ang gawaing nagawa sa fluid ay:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Ang negatibong tanda ay nagpapahiwatig na ang puwersang inilapat ay kabaligtaran ng direksyon ng paggalaw. Kaya ang pluwido ay gumagana sa kanan ng seksyon 2. Bukod pa rito, ang puwersa ng grabidad ay gumagana rin sa pluwido. Sa kasong nabanggit, ang isang tiyak na masa ng pluwido ay inililipat mula sa seksyon 1 hanggang sa seksyon 2 hanggang sa seksyon 2 hanggang sa L2 , kung saan ang volume ng pluwido sa seksyon 1 (A1L1 ) = ang volume ng pluwido sa seksyon 2 (A2L1 ) . Ang gawaing ginagawa ng grabidad ay :
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Ang negatibong tanda ay dahil sa pluwido na dumadaloy pataas, kabaligtaran ng direksyon ng grabidad. Kaya, ang kabuuang trabahong nagawa sa pluwido, gaya ng ipinapakita sa larawan sa itaas, ay:
W = W1 + W2 + W3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Ang teorama ng work-energy ay nagsasaad na ang kabuuang trabahong ginagawa sa isang sistema ay katumbas ng pagbabago sa kinetic energy nito. Kaya, maaari nating palitan ang Work (W) ng pagbabago sa kinetic energy (EK 2 - EK 1 ).
Maaari nating isulat muli ang equation sa itaas bilang:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 ‐ 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
Masa ng pluido na dumadaloy sa layong L1 sa cross section A1 = masa ng pluido na dumadaloy sa layong L2 ( seksyon A2 ) . Ang isang masa ng pluido, sabihin nating m, ay may volume na A1L1 at A2L2 kung saan ang A1L1 = A2L2 ( mas mahaba ang L2 kaysa sa L1 ).
Ngayon ay papalitan natin, o papalitan natin ang m sa ekwasyon sa itaas ng m = ρ AL:
Ito ang ekwasyon ni Bernoulli. Nakuha namin ang ekwasyon ni Bernoulli batay sa prinsipyo ng work-energy, kaya ito ay isang anyo ng Batas ng Konserbasyon ng Enerhiya.
remarks:
P = Presyon
ρ = Densidad ng pluwido
v = Bilis ng daloy ng likido
g = Akselerasyon dahil sa grabidad
h = Taas ng tubo/tubo ng daloy mula sa ibabaw ng lupa
Ang kaliwa at kanang bahagi ng ekwasyon ng Bernoulli sa itaas ay maaaring tumukoy sa anumang dalawang punto sa kahabaan ng tubo ng daloy kaya maaari nating isulat muli ang ekwasyon sa itaas bilang:
Nakasaad sa ekwasyon na ito na ang kabuuang kabuuan ng mga dami sa ekwasyon ay may parehong halaga sa buong tubo ng daloy.
Ngayon, suriin natin ang ekwasyon ni Bernoulli para sa ilang mga kaso.
Ekwasyon ni Bernoulli para sa mga Fluid na Nakapahinga
Ang isang espesyal na kaso ng ekwasyon ni Bernoulli ay para sa mga likidong hindi gumagalaw (mga likidong static). Kapag ang isang likido ay hindi gumagalaw, wala itong bilis. Kaya, v 1 = v 2 = 0. Sa kaso ng isang likidong hindi gumagalaw, ang ekwasyon ni Bernoulli ay maaaring pormulahin bilang:
Kung ang h₂ ‐ h₂ = h, ang ekwasyong ito ay maaaring isulat bilang:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
Ekwasyon ni Bernoulli para sa mga tubo ng daloy o mga tubo na magkapareho ang taas
Kung ang taas ng tubo o tubo ng daloy ay pareho, ang ekwasyon ng Bernoulli ay babaguhin sa:
