สมการของแว่นขยาย

บทความเกี่ยวกับสมการของ Loupe แว่นขยาย

ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อแว่นขยาย วัตถุจะดูเล็กเมื่อมองจากระยะไกลและดูใหญ่ขึ้นเมื่อมองในระยะใกล้ ความแตกต่างของขนาดวัตถุที่ตาเห็นเกิดจากความแตกต่างของมุมระหว่างตาและวัตถุ เมื่อวัตถุอยู่ไกลจากตามาก มุมระหว่างตาและวัตถุจะเล็กลง ทำให้ภาพที่เกิดขึ้นบนจอประสาทตาเล็กลง ในทางกลับกัน เมื่อวัตถุอยู่ใกล้ตา มุมระหว่างตาและวัตถุจะใหญ่ขึ้น ทำให้ภาพที่เกิดขึ้นบนจอประสาทตาใหญ่ขึ้น ยิ่งใกล้ตามากเท่าไร มุมระหว่างตาและวัตถุก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ทำให้ภาพที่เกิดขึ้นบนจอประสาทตาใหญ่ขึ้นด้วย โปรดทราบว่าโดยเฉลี่ยแล้ว ตาของมนุษย์มีจุดใกล้สุดอยู่ที่ 25 เซนติเมตร ดังนั้นระยะห่างระหว่างตาและวัตถุจึงไม่สามารถน้อยกว่า 25 เซนติเมตรได้ สรุปได้ว่า มุมระหว่างตาปกติของมนุษย์โดยเฉลี่ยกับวัตถุจะมีค่าสูงสุดเมื่อระยะห่างระหว่างตาและวัตถุอยู่ที่ 25 เซนติเมตร

หากหลังจากนำวัตถุเข้ามาใกล้ในระยะ 25 เซนติเมตรจากดวงตาปกติแล้ว ยังมองเห็นวัตถุไม่ชัดเจน แสดงว่าจำเป็นต้องใช้เครื่องมือทางแสงเพื่อช่วยให้ดวงตาเห็นวัตถุได้ชัดเจนขึ้น แว่นขยายหรือเลนส์ขยายแบบง่ายๆ ทำหน้าที่เพิ่มมุมระหว่างดวงตาและวัตถุ ความสามารถของแว่นขยายในการขยายภาพจะแสดงด้วยกำลังขยายเชิงมุม (M) แว่นขยายที่มีกำลังขยายเชิงมุม 2 เท่า ย่อมดีกว่าแว่นขยายที่มีกำลังขยายเชิงมุม 1 เท่าอย่างแน่นอน กำลังขยายเชิงมุม (M) แตกต่างจากกำลังขยายเชิงเส้น (m)

กำลังขยายเชิงมุมของแว่นขยาย

กำลังขยายเชิงมุมของแว่นขยาย (M) คืออัตราส่วนของมุมระหว่างดวงตาและภาพของวัตถุ (θ') เมื่อมองวัตถุผ่านแว่นขยาย ต่อมุมระหว่างดวงตาและวัตถุ (θ) เมื่อมองวัตถุโดยตรงจากจุดใกล้สุดของดวงตาปกติ ในทางคณิตศาสตร์:

M = θ' / θ

สมการกำลังขยายเชิงมุมของแว่นขยาย

สมการทั่วไปของการขยายเชิงมุมจะได้รับการอธิบายอย่างละเอียดมากขึ้นในบทความต่อไปนี้ เพื่อให้เข้าใจง่ายขึ้น โปรดดูรูปด้านล่าง

ในภาพที่ 1 วัตถุต่างๆ ถูกมองเห็นโดยตรงจากจุดใกล้สุดของดวงตาปกติ

N = จุดใกล้สุดของสายตาปกติ

θ = มุมระหว่างดวงตากับปลายทั้งสองข้างของวัตถุ

h = ho = ความสูงของวัตถุ

ในภาพที่ 2 วัตถุต่างๆ สามารถมองเห็นได้ผ่านแว่นขยาย

s = do = ระยะห่างระหว่างวัตถุและเลนส์

θ' = มุมระหว่างเลนส์ขยายกับปลายทั้งสองข้างของวัตถุ

h = ho = ความสูงของวัตถุ

ถ้ามุมมีขนาดเล็ก ค่าแทนเจนต์ θ ≈ θ

θ = h o / N

θ' = h o / do

สมการทั่วไปของกำลังขยายเชิงมุม (M) ของแว่นขยาย:

M = กำลังขยายเชิงมุม, N = จุดใกล้สุดของตาปกติ, do = ระยะห่างของวัตถุ นี่คือสมการทั่วไปสำหรับกำลังขยายเชิงมุมของแว่นขยาย เรียกว่าสมการทั่วไปเพราะระยะห่างระหว่างวัตถุที่มองเห็นได้ด้วยแว่นขยาย (do) ไม่มีค่าตายตัว แต่สามารถมีค่าใดก็ได้

สมการของการขยายเชิงมุมเมื่อดวงตาโฟกัสไปที่จุดไกล

ถ้าหากขณะมองวัตถุโดยใช้เลนส์ขยาย ดวงตาของผู้สังเกตโฟกัสไปที่จุดไกลสุดล่ะ? ถ้าดวงตาปรับโฟกัสได้น้อยที่สุด ระยะภาพก็จะเป็นอนันต์ เพื่อให้ภาพเป็นอนันต์ ระยะห่างระหว่างวัตถุกับเลนส์ขยายต้องเท่ากับระยะโฟกัสของเลนส์ขยาย (เปรียบเทียบกับคำอธิบายเกี่ยวกับเลนส์ขยาย) ดูรูปด้านล่าง

ในภาพที่ 3 วัตถุต่างๆ ถูกมองเห็นโดยตรงจากจุดใกล้สุดของดวงตาปกติ

N = จุดใกล้สุดของสายตาปกติ

θ = มุมระหว่างดวงตากับปลายทั้งสองข้างของวัตถุ

h = ความสูงของวัตถุ

ในภาพที่ 4 วัตถุต่างๆ ถูกมองผ่านแว่นขยาย โดยที่ดวงตาของผู้สังเกตมีการปรับโฟกัสต่ำสุด (ดวงตาโฟกัสที่จุดไกลสุด)

s = do = ระยะห่างระหว่างวัตถุที่มีเลนส์ = f = ความยาวโฟกัสของแว่นขยาย

θ' = มุมระหว่างห่วงกับปลายทั้งสองข้างของวัตถุ

h = ความสูงของวัตถุ

ถ้ามุมมีขนาดเล็ก ค่าแทนเจนต์ θ ≈ θ

สมการของกำลังขยายเชิงมุมของแว่นขยาย (M) เมื่อการปรับโฟกัสของดวงตาน้อยที่สุด (ดวงตาโฟกัสที่จุดไกล):

M = กำลังขยายเชิงมุม, N = จุดที่ใกล้ดวงตาปกติ, f = ความยาวโฟกัสของแว่นขยาย

สมการนี้แสดงให้เห็นว่ากำลังขยายเชิงมุม (M) ของแว่นขยายแปรผกผันกับความยาวโฟกัส (f) ยิ่งความยาวโฟกัสมากเท่าใด กำลังขยายเชิงมุมก็จะยิ่งน้อยลงเท่านั้น ในทางกลับกัน ยิ่งความยาวโฟกัสน้อยเท่าใด กำลังขยายเชิงมุมก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น แว่นขยายเป็นเลนส์นูน ดังนั้นจึงควรใช้เลนส์นูนที่มีความยาวโฟกัสน้อย หรือเลนส์นูนที่มีรัศมีโค้งน้อย เพื่อให้กำลังขยายของแว่นขยายมีค่ามาก

สมการของการขยายเชิงมุมเมื่อดวงตาโฟกัสที่จุดใกล้

ถ้าหากเมื่อคุณมองวัตถุโดยใช้แว่นขยาย ดวงตาของผู้สังเกตโฟกัสอยู่ที่จุดใกล้สุด (การปรับโฟกัสสูงสุด) ล่ะ? ถ้าดวงตาปรับโฟกัสได้สูงสุด ระยะภาพที่เกิดจากแว่นขยายจะเท่ากับจุดใกล้สุดของดวงตาปกติ ภาพที่ได้เป็นภาพเสมือน ดังนั้นระยะภาพ (นิ้ว) จึงเป็นค่าลบ

เมื่อระยะภาพ (di) เท่ากับระยะจุดใกล้สุด (N) ระยะวัตถุ (do):

ถ้ามุมมีขนาดเล็ก ค่าแทนเจนต์ θ ≈ θ

สมการของการขยายเชิงมุมของแว่นขยายเมื่อตาโฟกัสที่จุดใกล้สุด (การปรับโฟกัสสูงสุด):

M = กำลังขยายเชิงมุม, N = จุดที่อยู่ใกล้ดวงตาปกติ, f = ความยาวโฟกัสของแว่นขยาย

เปรียบเทียบสมการของการขยายเชิงมุมเมื่อการปรับโฟกัสต่ำสุด (ดวงตาโฟกัสที่จุดไกล) กับสมการของการขยายเชิงมุมเมื่อการปรับโฟกัสสูงสุด (ดวงตาโฟกัสที่จุดใกล้)

จากสมการทั้งสองนี้ สามารถสรุปได้ว่า กำลังขยายเชิงมุมจะมากขึ้นเมื่อการปรับโฟกัสของดวงตาอยู่ในระดับสูงสุด (ดวงตาโฟกัสอยู่ที่จุดใกล้สุด)