วัสดุการคูณไขว้โดยใช้ ส่วนประกอบ เวกเตอร์หน่วย
เราสามารถคำนวณผลคูณเวกเตอร์โดยตรงได้หากเรารู้ส่วนประกอบของเวกเตอร์ ขั้นตอนจะเหมือนกับผลคูณดอ ท กล่าว คือ ขั้นแรก เราคูณเวกเตอร์หน่วยi , jและkผลคูณเวกเตอร์ระหว่างเวกเตอร์หน่วยเดียวกันจะมีค่าเป็นศูนย์
i x i = j x j = k x k = 0
โดยอ้างอิงถึงสมการการคูณเวกเตอร์ที่ได้มาจากก่อนหน้านี้ (A x B = AB บาป θ) และคุณสมบัติการสลับที่กันของการคูณเวกเตอร์ (A x B = - B x A)จากนั้นเราจะได้:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
ต่อไปนี้เราจะแสดงเวกเตอร์AและBในรูปของส่วนประกอบต่างๆ แยกผลคูณของเวกเตอร์ทั้งสอง และใช้ผลคูณของเวกเตอร์หน่วย
A x ข = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
เพราะ i x i = j x j = k x k = 0 แดน i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, ดังนั้น :
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
A y B x ( -k ) + A y B z ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
ถ้าC = A x Bแล้ว ส่วนประกอบของCจะเป็นดังนี้:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
