เนื้อหาการคูณจุดโดยใช้ ส่วนประกอบ เวกเตอร์หน่วย
เราสามารถคำนวณผลคูณสเกลาร์ได้โดยตรง หากเรารู้ส่วนประกอบ x, y และ z ของเวกเตอร์AและB (เวกเตอร์ที่ทราบแล้ว)
ในการหาผลคูณดอทด้วยวิธีนี้ ขั้นแรกเราต้องหาผลคูณดอทของเวกเตอร์หน่วยก่อน จากนั้นจึงแสดงเวกเตอร์AและBในรูปส่วนประกอบ แยกผลคูณ และใช้ผลคูณของเวกเตอร์หน่วยนั้น
เวกเตอร์หน่วยi , jและkตั้งฉากกัน ทำให้การคำนวณง่ายขึ้น โดยใช้สมการการคูณสเกลาร์ที่ได้มาจากข้างต้น ( AB = AB cos theta ) เราจะได้:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
ต่อไปนี้เราจะแสดงเวกเตอร์ A และ B ในรูปของส่วนประกอบต่างๆ แยกผลคูณของเวกเตอร์ทั้งสอง และใช้ผลคูณของเวกเตอร์หน่วย
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
เพราะ i . i = j . j = k . k = 1 และ i . j = i . k = j . k ถ้า = 0 แล้ว:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
จากผลการคำนวณนี้ สรุปได้ว่า ผลคูณสเกลาร์หรือผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว คือ ผลรวมของผลคูณของส่วนประกอบที่เหมือนกันของเวกเตอร์ทั้งสอง
ตัวอย่างคำถามที่ 1:
เวกเตอร์ขนาดใหญ่ A แดน B ค่าที่ได้คือ 5 และ 4 ตามลำดับ ดังแสดงในภาพด้านล่าง มุมที่เกิดขึ้นคือ 90 องศาoนับมันสิ ผลคูณดอท เวกเตอร์ทั้งสอง
การอภิปราย
ก่อนที่เราจะคำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์ A และ B เราจำเป็นต้องทราบส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่สองก่อน
กx = (5) เพราะ 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) บาป 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) เพราะ 90 o = (4) (0) = 0
โดยy = (4) บาป 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
เวกเตอร์Aมีส่วนประกอบของเวกเตอร์เฉพาะบนแกน x และเวกเตอร์Bมีส่วนประกอบของเวกเตอร์เฉพาะบนแกน y ส่วนประกอบบนแกน z เป็นศูนย์ เนื่องจากเวกเตอร์AและBอยู่ในระนาบ xy
ต่อไปนี้เราจะคำนวณผลคูณดอทระหว่างเวกเตอร์AและBโดยใช้สมการผลคูณดอทที่มีเวกเตอร์ส่วนประกอบ:
ก. บี = เอx Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
ลองเปรียบเทียบกับวิธีแรกดู
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
ผลลัพธ์เหมือนกัน
ตัวอย่างคำถามที่ 2:
เวกเตอร์ขนาดใหญ่ A แดน B มีค่าเป็น 5 และ 4 ตามลำดับ ดังแสดงในภาพด้านล่าง จงคำนวณ ผลคูณดอท เวกเตอร์ทั้งสอง ถ้ามุมที่เกิดขึ้นคือ 30 องศาo
การอภิปราย
ก่อนที่เราจะคำนวณผลคูณดอทของเวกเตอร์ A และ B เราจำเป็นต้องทราบส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่สองก่อน
ส่วนประกอบ z เป็นศูนย์ เนื่องจากเวกเตอร์AและBอยู่ในระนาบ xy
ต่อไปนี้เราจะคำนวณผลคูณดอทระหว่างเวกเตอร์AและBโดยใช้สมการผลคูณดอทที่มีเวกเตอร์ส่วนประกอบ:
เปรียบเทียบกับวิธีแรก
