เวกเตอร์ไม่ใช่จำนวนธรรมดา ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้การคูณแบบธรรมดาได้โดยตรง เราต้องใช้การคูณเวกเตอร์ ซึ่งมีอยู่สองประเภท คือ การคูณจุดและการคูณไขว้ การคูณจุดเรียกอีกอย่างว่าการคูณสเกลาร์ เพราะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ส่วนการคูณไขว้เรียกอีกอย่างว่าการคูณเวกเตอร์ เพราะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ ตัวอย่างเช่น มีเวกเตอร์สองตัว คือ A แดน Bการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ A แดน B ระบุไว้ด้วย เอบี เคเนื่องจากสนามประลองใช้สัญกรณ์จุด การคูณนี้จึงเรียกว่า ผลคูณดอทการคูณเวกเตอร์ของ A แดน B ระบุไว้ด้วย A x บีเพราะมันใช้สัญลักษณ์ xดังนั้น การคูณแบบนี้จึงเรียกว่า การคูณไขว้
ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเวกเตอร์ A แดน B ดังแสดงในภาพด้านล่าง ผลคูณดอทระหว่างเวกเตอร์ A แดน B เขียนเป็น AB (A จุด B).
เพื่อกำหนดนิยามของผลคูณดอทของเวกเตอร์ A แดน B (AB)เวกเตอร์ที่แสดง A และเวกเตอร์ โดย yซึ่งก่อให้เกิดมุม θ. ต่อไปเราจะวาดภาพฉายของเวกเตอร์ B ไปทางทิศทางของเวกเตอร์ Aการฉายภาพนี้เป็นส่วนประกอบหนึ่งของเวกเตอร์ B ซึ่งขนานกับเวกเตอร์ Aซึ่งมีขนาดเท่ากับ B เกวียน θ.
ดังนั้น เราจึงกำหนด AB ในฐานะเวกเตอร์ขนาดใหญ่ A คูณด้วยส่วนประกอบของเวกเตอร์ B ซึ่งขนานกับ Aในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนได้ดังนี้:
AB เกวียน θ เป็นจำนวนธรรมดา (สเกลาร์) ดังนั้น ผลคูณดอทจึงเรียกว่า ผลคูณสเกลาร์ แล้วถ้าผลคูณดอทระหว่างเวกเตอร์ล่ะ A แดน B กลับด้านเป็น บริติชแอร์เวย์ ก่อนที่เราจะกำหนด บริติชแอร์เวย์ขั้นแรก เราจะวาดภาพฉายของเวกเตอร์ A ไปยังเวกเตอร์ B (ดูภาพด้านล่าง)
จากภาพนี้ เราสามารถกำหนดได้ว่า บริติชแอร์เวย์ ในฐานะเวกเตอร์ขนาดใหญ่ B คูณด้วยส่วนประกอบของเวกเตอร์ A ซึ่งขนานกับ Bในทางคณิตศาสตร์เราสามารถเขียนได้ดังนี้:
ผลลัพธ์การคูณดอท AB = AB เกวียน θ และผลลัพธ์ของผลคูณดอท บริติชแอร์เวย์ = BA เกวียน θ. เพราะ AB เกวียน θ = BA เกวียน θจากนั้นจึงนำไปใช้ AB = บริติชแอร์เวย์
สิ่งที่คุณควรรู้เกี่ยวกับการคูณจุดมีดังนี้:
1. ผลคูณดอทเป็นไปตามกฎการสลับที่
AB = บริติชแอร์เวย์
2. ผลคูณดอทเป็นไปตามกฎการกระจาย
ก. (ข + ค) = เอบี + เอซี
3. ถ้าเวกเตอร์ A แดน B ตั้งฉากกัน ผลลัพธ์ของการคูณดอทก็คือ AB = 0
เมื่อเวกเตอร์ A แดน B ถ้าเส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกัน มุมที่เกิดขึ้นจะเป็น 90 องศาoคอส 90o = 0. ดังนั้น: AB = AB เกวียน Teta = AB เพราะ 90o = 0 ในทางกลับกัน บริติชแอร์เวย์ = BA เกวียน Teta = BA เพราะ 90o = 0
4. ถ้าเวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B ทางเดียว, มากา AB = AB เพราะ 0o = AB
เมื่อเวกเตอร์ A แดน B ถ้าอยู่ในทิศทางเดียวกัน มุมที่เกิดขึ้นจะเป็น 0o. Cos 0 = 1. ดังนั้น, AB = AB เกวียน Teta = AB เพราะ 0o = ABในทางตรงกันข้าม บริติชแอร์เวย์ = BA เกวียน Teta = BA เพราะ 0o = BA
(คุณไม่ควรสับสนกับ) AB แดน BA. ใหญ่ AB = ใหญ่ BAตัวอย่างเช่น ขนาดของเวกเตอร์ A = 2. ขนาดของเวกเตอร์ B = 3. จากนั้น AB = 2.3 = 6; ซึ่งเหมือนกันกับ บริติชแอร์เวย์ = 3.2 = 6
5. อีกเงื่อนไขหนึ่งที่ทำให้เวกเตอร์สองตัวมีทิศทางเดียวกัน คือ ถ้า เอ = บี จากนั้นจึงได้รับ AA = A2 atau BB = B2
6. ถ้าเวกเตอร์ A แดน B ทิศทางตรงกันข้าม (เมื่อเวกเตอร์สองตัวมีทิศทางตรงข้ามกัน มุมที่เกิดขึ้นจะมีค่า 180º)จากนั้นผลลัพธ์ของการคูณ AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB
Cos 180º = -1.
ตัวอย่างปัญหา:
เวกเตอร์ A มีขนาด 4 หน่วยและเป็นเวกเตอร์ B มี 3 หน่วย จงหาผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัว ถ้ามุมที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสองคือ 60º, 90º และ 180ºo
การอภิปราย
เพราะ AB = บริติชแอร์เวย์ จากนั้นเราสามารถเลือกใช้อย่างใดอย่างหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น เราใช้ AB
AB = AB เกวียน Teta
เบซาร์ A = 4 หน่วยและขนาดใหญ่ B = 3 หน่วย
