Формулаи Бернулли: Принсипҳо ва татбиқҳо
Принсипи Бернулли як мафҳуми бунёдӣ дар механикаи моеъ аст, ки онро Даниел Бернулли, олими швейтсарӣ, дар асри 18 кашф кардааст. Ин принсип робитаи байни суръати ҷараёни моеъ ва фишор дар дохили он ҷараёнро шарҳ медиҳад. Дар ин мақола формулаи Бернулли, мафҳумҳои асосии он, ҳосилаҳои математикӣ, мисолҳои ҳисобкунӣ ва татбиқи он дар ҳаёти ҳаррӯза муфассал баррасӣ карда мешавад.
Фаҳмидани формулаи Бернулли
Формулаи Бернулли мегӯяд, ки дар ҷараёни идеалии моеъ (бе соиш), миқдори энергияи механикӣ (энергияи потенсиалӣ, энергияи кинетикӣ ва фишор) барои як воҳиди ҳаҷми об дар тамоми ҷараён доимӣ аст. Ин формула чунин ифода карда мешавад:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant} \]
ди мана:
– \( P \) фишори моеъ аст (дар паскалҳо, Па),
– (\rho\) зичии моеъ аст (бо килограмм дар як метри мукааб, кг/м³),
– \( v \) суръати ҷараёни моеъ аст (бо метр дар як сония, м/с),
– \( g \) шитоби аз ҳисоби ҷозиба аст (бо метр дар як сония мураббаъ, м/с²),
– \( h \) баландии моеъ аз болои сатҳи истинодӣ (бо метр, м) мебошад.
Принсипи Бернулли
Принсипи Бернулли ба қонуни нигоҳдории энергия асос ёфтааст. Дар ҷараёни моеъ, агар ба система энергия илова ё хориҷ карда нашавад, энергияи умумӣ дар система бояд доимӣ боқӣ монад. Энергияи умумӣ барои як воҳиди ҳаҷми он аз инҳо иборат аст:
1. Энергияи фишор (\( P \)): Энергияе, ки аз фишори моеъ ба вуҷуд меояд.
2. Энергияи кинетикӣ (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Энергияе, ки аз ҳаракати моеъ ба вуҷуд меояд.
3. Энергияи потенсиалии ҷозиба (\( \rho gh \)): Энергияе, ки аз мавқеи моеъ дар майдони ҷозиба ба вуҷуд меояд.
Ҳосилаи математикии формулаи Бернулли
Барои фаҳмидани ҳосилаи формулаи Бернулли, мо унсури хурди моеъро, ки дар ҷараён бо суръати \(v\) аз нуқтаи 1 ба нуқтаи 2 ҳаракат мекунад, баррасӣ мекунем. Агар мо фарз кунем, ки талафоти энергия аз сабаби соиш ё гармӣ вуҷуд надорад, энергияи умумӣ дар нуқтаҳои 1 ва 2 бояд якхела бошад.
Энергияи умумӣ дар нуқтаи 1 (\( E_1 \)) чунин аст:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
Энергияи умумӣ дар нуқтаи 2 (\( E_2 \)) чунин аст:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Азбаски энергияи умумӣ бояд доимӣ бошад:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Ин формулаи Бернулли номида мешавад.
Намунаи ҳисобкунӣ бо истифода аз формулаи Бернулли
Фарз мекунем, ки мо як қубури уфуқӣ дорем, ки об аз нуқтаи А ба нуқтаи В ҷорӣ мешавад. Дар нуқтаи А суръати об 2 м/с ва фишор 150,000 Па аст. Дар нуқтаи В суръати об 4 м/с аст. Зичии об 1000 кг/м³ аст. Фишорро дар нуқтаи В ҳисоб кунед.
Формулаи Бернуллиро истифода баред:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Азбаски қубур уфуқӣ аст, \( h_A = h_B \), пас \( \rho gh \)-ро дар ҳарду нуқта нодида гирифтан мумкин аст:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Арзишҳои маълумро иваз кунед:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Энергияи кинетикиро дар ҳарду нуқта ҳисоб кунед:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Пас, фишор дар нуқтаи B 144,000 Па аст.
Татбиқи принсипи Бернулли
1. Ҳавопаймоҳо: Принсипи Бернулли дар тарҳрезии болҳои ҳавопаймо истифода мешавад. Шакли болҳои ҳавопаймо тавре тарҳрезӣ шудааст, ки суръати ҳаво дар болои бол нисбат ба зери бол зиёдтар бошад. Ин боиси паст шудани фишор дар болои бол ва баланд шудани фишор дар зери бол мегардад, ки қувваи бардорандаеро ба вуҷуд меорад, ки ба ҳавопаймо имкон медиҳад парвоз кунад.
2. Мошинҳои пойга: Тарроҳии аэродинамикии мошинҳои пойга аз Принсипи Бернулли барои баланд бардоштани суръат ва устуворӣ истифода мебарад. Спойлерҳо ва диффузорҳо барои танзими ҷараёни ҳаво истифода мешаванд, ки қувваи поёнравиро афзоиш медиҳанд, ки кашиши мошинро дар роҳ беҳтар мекунад.
3. Ҷараёни хун дар бадан: Принсипи Бернулли инчунин ба ҷараёни хун тавассути рагҳои хун дахл дорад. Барои ташхиси бемориҳои тиббӣ фарқиятҳо дар суръати ҷараёни хун ва фишор дар қисмҳои гуногуни баданро омӯхтан мумкин аст.
4. Ҳисобкунаки Вентури: Дастгоҳе, ки барои чен кардани суръати ҷараёни моеъ дар қубур истифода мешавад. Ҳисобкунаки Вентури қисмати тангшаванда дорад, ки мувофиқи Принсипи Бернулли боиси афзоиши суръати ҷараёни моеъ ва коҳиши фишор мегардад. Барои ҳисоб кардани суръати ҷараён фарқияти фишор байни қисматҳои васеъ ва танг истифода мешавад.
5. Пошидани атрҳо: Пошидани атрҳо ё пошидани моеъҳо аз принсипи Бернулли истифода мебаранд. Вақте ки ҳаво тавассути найчаи борик мегузарад, фишори ҳаво дар атрофи нӯги найча кам мешавад ва моеъи атрро аз найча боло кашида, онро ҳамчун тумани майда пошида мегирад.
Омилҳое, ки ба татбиқи Принсипи Бернулли таъсир мерасонанд
1. Соиш: Дар асл, моеъҳо беҳтарин нестанд ва ҳамеша соиш (часпакӣ)-и дохилӣ вуҷуд дорад, ки боиси талафи энергия мегардад. Ин татбиқи Принсипи Бернуллиро мураккабтар мекунад.
2. Фишурдашавандагии моеъ: Принсипи Бернулли барои моеъҳои фишурданашаванда (масалан, об) татбиқ кардан осонтар аст. Барои газҳо ё моеъҳои фишурдашаванда, муодила бояд ислоҳ карда шавад.
3. Турбулентӣ: Принсипи Бернулли ба ҷараёни ламинарӣ (мунтазам) татбиқ мешавад. Дар ҷараёни турбулентӣ (ғайримунтазам), таҳлил мураккабтар мешавад.
Таҳқиқоти мавридӣ: Истифодаи принсипи Бернулли дар тарҳрезии болҳои ҳавопаймо
Тарроҳии боли ҳавопаймо намунаи классикии Принсипи Бернулли дар амал аст. Шакли каҷшудаи боло ва поёни ҳамвори бол имкон медиҳад, ки ҳаво нисбат ба зери бол тезтар ҳаракат кунад. Мувофиқи Принсипи Бернулли, суръати баланди ҷараёни ҳаво дар болои бол нисбат ба зери бол фишори камтарро ба вуҷуд меорад. Ин фарқияти фишор қувваи бардорандаро ба вуҷуд меорад, ки ба ҳавопаймо имкон медиҳад парвоз кунад.
Фарз мекунем, ки масоҳати боли ҳавопаймо 25 м² аст. Суръати ҳаво дар болои бол 70 м/с ва дар зери бол 50 м/с аст. Зичии ҳаво 1.225 кг/м³ аст. Қувваи бардориши ҳосилшударо ҳисоб кунед.
1. Бо истифода аз формулаи Бернулли фарқияти фишорро (\( \Delta P \)) ҳисоб кунед:
\[ P_{bottom} – P_{bottom} = \frac{1}{2} \rho (v_{bottom}^2 – v_{bottom}^2) \]
Арзишҳои маълумро иваз кунед:
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]
\[ \Делта P = 1.225 \зарбаи 1200 \]
\[ \Делта P = 1470 \, \матн{Па} \]
2. Қувваи бардорандаро (\( F_{lift} \)) ҳисоб кунед:
\[ F_{lift} = \Delta P \times A \]
\[ F_{lift} = 1470 \, \text{Pa} \times 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{бардор} = 36,750 \, \text{
Н} \]
Пас, қувваи бардоштан дар натиҷа 36,750 Нютон аст.
Хулоса
Принсипи Бернулли яке аз асосҳои механикаи моеъ буда, робитаи байни суръати ҷараёни моеъ ва фишорро шарҳ медиҳад. Бо фаҳмидан ва татбиқи формулаи Бернулли, мо метавонем системаҳои гуногуни ҷараёни моеъро, аз ҳавопаймо то ҳисобкунакҳои ҷараён, таҳлил ва тарҳрезӣ кунем. Гарчанде ки дар амал мо аксар вақт бояд омилҳоеро ба монанди соиш ва турбулентӣ ба назар гирем, Принсипи Бернулли як воситаи муҳим дар фаҳмидани динамикаи моеъ ва тарҳрезии роҳҳои ҳалли муассири муҳандисӣ боқӣ мемонад.
