Маводи зарбкунии нуқтаҳо бо истифода аз ҷузъҳои вектори воҳидӣ
Агар мо ҷузъҳои x, y ва z-и векторҳои A ва B (векторҳои маълум) -ро донем, мо метавонем маҳсули скаляриро мустақиман ҳисоб кунем .
Барои иҷрои зарби нуқтаӣ бо ин роҳ, аввал зарби нуқтаии векторҳои воҳидро иҷро мекунем, баъд аз он векторҳои A ва B- ро дар ҷузъҳои онҳо ифода мекунем, зарбиро таҷзия мекунем ва зарби векторҳои воҳидро истифода мебарем.
Векторҳои воҳидӣ i , j ва k ба якдигар амудӣ мебошанд, ки ҳисобкуниро осонтар мекунад. Бо истифода аз муодилаи зарби скалярии дар боло овардашуда ( AB = AB cos theta ), мо ба даст меорем:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Акнун мо векторҳои A ва B-ро аз рӯи ҷузъҳояшон ифода мекунем, ҳосили онҳоро таҷзия мекунем ва ҳосили векторҳои воҳидро истифода мебарем.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Карена i . i = j . j = k . k = 1 ва i . j = i . k = j . k = 0, пас:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y By y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Бар асоси натиҷаҳои ин ҳисоб, метавон хулоса кард, ки зарби скалярӣ ё зарби нуқтагии ду вектор ҷамъи зарбҳои ҷузъҳои монанд ба онҳо мебошад.
Намунаи саволи 1:
Вектори калон A Дон B мутаносибан 5 ва 4 мебошанд, чунон ки дар расми зер нишон дода шудааст. Кунҷи ҳосилшуда 90 аст.oҲисоб кунед маҳсули нуқтаӣ ҳарду вектор.
Пембахасан
Пеш аз он ки мо ҳосили нуқтавии векторҳои A ва B-ро ҳисоб кунем, аввал бояд ҷузъҳои вектори дуюмро донем.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Вектори A танҳо дар меҳвари x ҷузъҳои векторӣ дорад ва вектори B танҳо дар меҳвари y ҷузъҳои векторӣ дорад. Компоненти z сифр аст, зеро векторҳои A ва B дар сатҳи xy ҷойгиранд.
Акнун мо зарби нуқтаро байни векторҳои A ва B бо истифода аз муодилаи зарби нуқта бо векторҳои компонентӣ ҳисоб мекунем:
A. Б = Аx Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
А. Б = 0
Биёед онро бо усули аввал муқоиса кунем.
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Натиҷа ҳамон аст.
Намунаи саволи 2:
Вектори калон A Дон B мутаносибан 5 ва 4 мебошанд, чунон ки дар расми зер нишон дода шудааст. Ҳисоб кунед. маҳсули нуқтаӣ ҳарду вектор, агар кунҷи ташаккулёфта 30 бошадo
Пембахасан
Пеш аз он ки мо ҳосили нуқтавии векторҳои A ва B-ро ҳисоб кунем, аввал бояд ҷузъҳои вектори дуюмро донем.
Компоненти z ба сифр баробар аст, зеро векторҳои A ва B дар сатҳи xy ҷойгиранд.
Акнун мо зарби нуқтаро байни векторҳои A ва B бо истифода аз муодилаи зарби нуқта бо векторҳои компонентӣ ҳисоб мекунем:
Бо усули аввал муқоиса кунед.
