Арзиши пешбинишудаи тақсимоти биномӣ
Тақсимоти биномӣ яке аз тақсимоти эҳтимолияти дискретӣ дар омор ва эҳтимолият аст. Ин тақсимот шумораи муваффақиятҳоро дар як қатор озмоишҳои дуӣ мустақил тавсиф мекунад (озмоишҳо бо танҳо ду натиҷа: муваффақият ё нокомӣ). Барои фаҳмидани беҳтари тақсимоти биномӣ, фаҳмидани мафҳуми арзиши интизорӣ муҳим аст, ки арзиши миёнаи озмоиши такроршударо дар тӯли муддати тӯлонӣ тавсиф мекунад. Дар ин мақола мафҳуми арзиши интизорӣ дар заминаи тақсимоти биномӣ баррасӣ мешавад.
Таърифи тақсимоти биномӣ
Тақсимоти биномӣ дар шароитҳое ба миён меояд, ки мо як қатор озмоишҳои якхела ва мустақилро анҷом медиҳем ва ҳар як озмоиш ду натиҷаи мутақобилан истисноӣ дорад, ки одатан "муваффақият" ва "нокомӣ" номида мешаванд. Масалан, партофтани танга (сар ё дум), ҷавоб додан ба саволи имтиҳон (дуруст ё нодуруст) ё озмоиши тиббӣ (шифоёфта ё шифонаёфта).
Тақсимоти биномӣ бо ду параметр муайян карда мешавад:
– n, шумораи озмоишҳо.
– p , эҳтимолияти муваффақият дар ҳар як озмоиш.
Тақрибан, агар X як тағйирёбандаи тасодуфӣ бошад, ки шумораи муваффақиятҳоро дар n озмоиш ифода мекунад, пас X аз тақсимоти биномӣ бо параметрҳои n ва p пайравӣ мекунад, ки ҳамчун X ~ Binomial(n, p) ишора карда мешаванд.
Функсияи эҳтимолият
Функсияи эҳтимолияти тақсимоти биномӣ чунин аст:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
ди мана:
– \( \binom{n}{k} \) коэффитсиенти биномӣ аст, ки ҳамчун \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) ҳисоб карда мешавад.
– \( k \) шумораи дилхоҳи муваффақиятҳо мебошад.
– \( n \) шумораи озмоишҳо мебошад.
– \(p \) эҳтимолияти муваффақият дар ҳар як озмоиш аст.
– \( (1-p) \) эҳтимолияти нокомӣ дар ҳар як озмоиш аст.
Арзиши интизоршаванда
Қимати интизорӣ ё миёнаи тақсимоти эҳтимолият яке аз муҳимтарин ченакҳои ҷойгиршавии марказӣ мебошад. Барои тақсимоти биномӣ, арзиши интизории тағйирёбандаи тасодуфии X, ки пас аз биномӣ(n, p) меояд, чунин аст:
\[ E(X) = np \]
Исботи арзиши интизоршаванда
Барои фаҳмидани он, ки чаро арзиши интизоршавандаи тақсимоти биномӣ np аст, мо метавонем хосияти хаттии арзиши интизоршавандаро истифода барем ва бубинем, ки чӣ гуна тағирёбандаҳои дуӣ ба саҳми худ илова мекунанд.
Биёед \(X \)-ро ҳамчун шумораи муваффақиятҳо дар n озмоиши дуӣ муайян кунем. Аниқтараш, бигзор \(X_i \) як тағирёбандаи тасодуфӣ бошад, ки натиҷаи озмоиши i-ро ифода мекунад, агар озмоиши i-ум муваффақ бошад, \(X_i = 1 \) ва агар ноком бошад, \(X_i = 0 \) бошад. Пас, мо метавонем \(X \)-ро чунин нависем:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Азбаски ҳар як \(X_i \) як тағирёбандаи дуӣ бо эҳтимолияти муваффақияти p аст, арзиши интизоршавандаи \(X_i \) чунин аст:
\[E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
Мо метавонем хосияти хаттии арзиши интизоршавандаро барои арзиши интизоршавандаи X истифода барем:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Ин нишон медиҳад, ки арзиши интизоршавандаи тақсимоти биномӣ np аст.
Мисоли тасвирӣ
Ҳолатеро дида мебароем, ки дар он мо як тангаи одилонаро 10 маротиба мегардонем. Биёед бипурсем, ки арзиши интизории шумораи гардишҳое, ки боиси пайдоиши сар мешаванд, чӣ қадар хоҳад буд.
Дар ин маврид:
– n = 10 (шумораи партофтани тангаҳо)
– p = 0.5 (эҳтимолияти гирифтани сарҳо, зеро танга одилона аст)
Пас, арзиши интизоршаванда чунин аст:
\[E(X) = np = 10 \ маротиба 0.5 = 5 \]
Ин маънои онро дорад, ки агар мо тангаро дар муддати тӯлонӣ 10 маротиба такроран партофта бошем, ба ҳисоби миёна 5 маротиба сарҳо ба даст меорем.
Дисперсия ва инҳирофи стандартӣ
Илова бар арзиши интизоршаванда, фаҳмидани дисперсия ва инҳирофи стандартии тақсимоти биномӣ низ муҳим аст.
Барои тақсимоти биномӣ, дисперсия \( \sigma^2 \) ва инҳирофи стандартӣ \( \sigma \) чунинанд:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Дисперсия чен мекунад, ки маълумот то чӣ андоза аз арзиши интизоршаванда паҳн шудааст. Инҳирофи стандартӣ решаи квадратии дисперсия аст ва инчунин паҳншавии маълумотро чен мекунад, аммо дар ҳамон воҳидҳое, ки маълумоти аслӣ дорад.
Хулоса
Тақсимоти биномӣ як мафҳуми асосӣ дар омор ва эҳтимолият аст, ки дар барномаҳои гуногуни воқеӣ, аз тиҷорат то илмҳои иҷтимоӣ ва биология, зуд-зуд дучор мешавад. Арзиши интизории тақсимоти биномӣ, ки ҳамчун np ҳисоб карда мешавад, фаҳмиши муҳимро дар бораи шумораи миёнаи муваффақиятҳо дар як қатор озмоишҳои дуӣ фароҳам меорад. Бо дарки мафҳумҳои арзиши интизорӣ, дисперсия ва инҳирофи стандартӣ, мо метавонем дарки равшантари хусусиятҳои тақсимоти биномӣ ва чӣ гуна он падидаҳои муайянро дар ҳаёти ҳаррӯза тавсиф мекунад, ба даст орем.
Ин дониш на танҳо дар таҳлили маълумот ва омор, балки дар қабули қарорҳое, ки арзёбии эҳтимолият ва номуайяниро талаб мекунанд, бениҳоят муфид аст. Дарки арзиши интизорӣ ва тақсимоти биномӣ метавонад ба мо дар пешгӯиҳои дақиқтар ва қабули қарорҳои огоҳонатар кӯмак кунад.
