Функсияҳои инъективӣ, сюръективӣ ва биъективӣ
Дар математика, бахусус дар назарияи функсияҳо, се намуди муҳими функсияҳо мавҷуданд, ки аксар вақт мавриди баррасӣ қарор мегиранд: инъективӣ, сюръективӣ ва биъективӣ. Ҳар яке аз ин се намуди функсияҳо хусусиятҳои беназире доранд, ки муайян мекунанд, ки чӣ гуна унсурҳо аз маҷмӯи сарчашма (домен) ба унсурҳои маҷмӯи мақсаднок (диапазон ё кодомеин) муқоиса карда мешаванд. Дар ин мақола таъриф, хосиятҳо ва мисолҳои ҳар яки ин функсияҳо, инчунин татбиқи онҳо дар соҳаҳои гуногун шарҳ дода мешавад.
Функсияи тазриқӣ
Функсияи инжексионӣ, ки онро функсияи як ба як низ меноманд, функсияест, ки дар он ҳар як унсури маҷмӯи сарчашма ба унсури беназир дар маҷмӯи мақсаднок муқоиса карда мешавад. Дар шакли расмӣ, функсияи \(f : A \to B \) инжексионӣ номида мешавад, агар ва танҳо агар барои ҳар як \(a_1, a_2 \in A \), \(f(a_1) = f(a_2) \) маънои онро дошта бошад, ки \(a_1 = a_2 \).
Ба таври фаҳмотар, функсияи инъексивӣ кафолат медиҳад, ки ҳеҷ ду унсури алоҳида дар маҷмӯи сарчашма дар маҷмӯи мақсаднок тасвири якхела надошта бошанд. Ба ибораи дигар, ҳар як унсур дар маҷмӯи мақсаднок ҳадди аксар як унсури сарчашма дорад, ки ба он пайваст мешавад.
Конто:
– Функсияи \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)-ро дида бароед, ки ҳамчун \(f(x) = 2x + 3 \) муайян шудааст. Ин функсия инъексионӣ аст, зеро агар \(f(a) = f(b) \) бошад, пас \(2a + 3 = 2b + 3 \), ки маънои \(a = b \)-ро дорад.
Барномаҳо:
Функсияҳои инъексионӣ аксар вақт дар ҳолатҳое истифода мешаванд, ки мо бояд такроршавӣ вуҷуд надошта бошад, масалан, дар индексатсия ё рамзгузорӣ.
Функсияи сюръективӣ
Функсияи сюръективӣ ё он-функсия функсияест, ки дар он ҳар як унсури маҷмӯи мақсадноки \(B\) ҳадди аққал як унсурро аз маҷмӯи сарчашмаи \(A\) дорад, ки ба он пайваст мешавад. Дар қайдкунии расмӣ, функсияи \(f:A\to\B\) сюръективӣ номида мешавад, агар барои ҳар як \(b\in B\) ҳадди аққал як \(a\in A\) вуҷуд дошта бошад, ки \(f(a) = b\).
Ба ибораи дигар, функсияи сюръективӣ кафолат медиҳад, ки маҷмӯи мақсад пурра аз ҷониби тасвири маҷмӯи сарчашма фаро гирифта шудааст. Ҳеҷ як унсур дар маҷмӯи мақсад "пӯшонида нашудааст".
Конто:
– Функсияи \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)-ро дида бароед, ки ҳамчун \(f(x) = x^3 \) муайян карда мешавад. Ин функсия сюръективӣ аст, зеро барои ҳар як \(y \in \mathbb{R} \), мо метавонем \(x \in \mathbb{R} \)-ро чунин пайдо кунем, ки \(x^3 = y \).
Барномаҳо:
Функсияҳои сюръективӣ дар заминаи тақсимот ё тақсимоти захираҳо ба таври васеъ истифода мешаванд, ки дар он мо бояд боварӣ ҳосил кунем, ки ҳар як гиранда аз маҷмӯи диҳандагон чизе мегирад.
Функсияи биҷективӣ
Функсияи биҷективӣ функсияест, ки ҳам инъективӣ ва ҳам сюръективӣ аст. Ба ибораи дигар, функсияи биҷективӣ ҳам як ба як ва ҳам ба он аст. Ҳамин тариқ, дар функсияи биҷективӣ, ҳар як унсур дар маҷмӯи сарчашма ба таври беназир ба унсуре дар маҷмӯи таъинот пайваст карда мешавад ва баръакс, ҳар як унсур дар маҷмӯи таъинот маҳз як унсур дорад, ки аз маҷмӯи сарчашма ба он пайваст мешавад.
Конто:
– Функсияи \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)-ро дида бароед, ки ҳамчун \(f(x) = x + 1 \) муайян шудааст. Ин функсия биективӣ аст, зеро:
– Тазриқӣ: Агар \(f(a) = f(b) \), пас \(a + 1 = b + 1 \) маънои \(a = b \)-ро дорад.
– Сужъективӣ: Барои ҳар як y \in \mathbb{R} ), мо метавонем y (x = y – 1 )-ро чунин пайдо кунем, ки y (f(x) = y ) бошад.
Барномаҳо:
Функсияҳои биҷективӣ махсусан дар заминаи табдилдиҳӣ ва изоморфизмҳо муҳиманд, ки дар он мо бояд сохтор ё муносибатҳои байни унсурҳоро ҳангоми харитасозӣ аз як маҷмӯъ ба маҷмӯи дигар нигоҳ дорем. Масалан, дар криптография, калидҳои рамзгузорӣ ва рамзкушоӣ аксар вақт функсияҳои биҷективӣ мебошанд, то паёмҳо ба таври беназир рамзгузорӣ ва рамзкушоӣ карда шаванд.
Таҳлили минбаъда
Графика ва диаграммаҳо
Истифодаи диаграмма ё графики Венн аксар вақт барои фаҳмидани ин функсияҳо муфид аст. Дар диаграммаи Венн, функсияи инъексиониро бо ҳар як унсур дар маҷмӯи таъинот, ки ҳадди аксар як тири воридшаванда дорад, тасвир кардан мумкин аст. Функсияи сюръективиро бо ҳар як унсур дар маҷмӯи таъинот, ки ҳадди аққал як тири воридшаванда дорад, тасвир кардан мумкин аст. Функсияи биъективӣ дорои ҳар як унсур дар маҷмӯи сарчашма ва таъинот мебошад, ки маҳз як тири воридшаванда дорад ва мувофиқати як ба якро эҷод мекунад.
Функсияи баръакс
Ҷанбаи дигари муҳим, ки аксар вақт дар заминаи функсияҳои инъективӣ, сюръективӣ ва биъективӣ омӯхта мешавад, функсияи баръакс мебошад.
– Функсияи тазриқӣ ҳамеша функсияи чапи баръакс дорад.
– Функсияи сюръективӣ ҳамеша функсияи рости баръакс дорад.
– Функсияи биҷективӣ ҳамеша дорои функсияи баръакси беназир аст.
Агар функсия бижективӣ бошад, ҳам инверсияҳои чап ва ҳам рости баръакс вуҷуд хоҳанд дошт ва ҳарду баробар хоҳанд буд, ки функсияи ҳақиқии баръаксро ташкил медиҳад.
Penutup
Фаҳмидани мафҳумҳои функсияҳои инъективӣ, сюръективӣ ва биъективӣ барои бисёр соҳаҳои математика ва татбиқи амалии онҳо асосист. Функсияҳои инъективӣ такрор нашудани онҳоро кафолат медиҳанд; функсияҳои сюръективӣ фарогирии пурраро таъмин мекунанд; ва функсияҳои биъективӣ мувофиқати як ба якро байни унсурҳо дар ду маҷмӯа кафолат медиҳанд. Донистани ин се намуди функсияҳо на танҳо дар математикаи холис, балки дар соҳаҳо ба монанди илми компютерӣ, иқтисод ва муҳандисӣ низ муҳим аст. Фаҳмиши амиқи кор ва татбиқи ин функсияҳо метавонад дарро барои таҳлил ва ҳалли самараноктар ва муассиртар боз кунад.
